[ENUNCIADO COMUM ÀS QUESTÕES 3 E 4]

Uma pessoa possui um braço de momento de inércia I = 0,1   k g m 2 e agarra uma bola de massa m = 0,2   k g e velocidade inicial v → perpendicular ao braço. A bola é agarrada no instante t   =   0   s a uma distância D = 0,5   m do ponto O , como mostra a Figura 1. Imediatamente após receptar a bola, o sistema braço + bola gira em torno de um eixo que passa perpendicularmente ao ponto O com velocidade angular ω = 12   r a d / s . Considere que todo o movimento ocorre em um plano horizontal e que a gravidade não é relevante para a situação descrita.

[QUESTÃO 4]

O módulo de v → logo antes da receptação é igual a:

(a) 0   m / s  

(b) 6   m / s

(c) 12   m / s

(d) 18   m / s

(e) 24   m / s

(f) 100   m / s

(g) 140   m / s

(h) 220   m / s

(i) 280   m / s

Passo 1

Como não há forças externas ao sistema bola+braço atuando, também não temos nenhuma torque externo atuando:

τ R e x t = 0

Assim, o momento angular do sistema se conserva:

L 0 = L

Vamos partir dessa conservação para encontrar a velocidade v da bola antes da colisão.

Passo 2

O momento angular inicial L 0 será apenas o momento angular da bola:

L 0 = L b o l a

O momento angular de uma partícula é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r → e o vetor momento liner p → :

L → = r → × p →

L → = r → × m v →

seu módulo é dado por:

L = r m v × s e n θ

Mas dá uma olhada nessa imagem:

D = r s e n θ

Ou seja, para qualquer instante antes da colisão (inclusive o instante exatamente antes), basta pegar a distância perpencidular ao vetor velocidade v → entre a partícula e o ponto O :

L 0 = m v D

Passo 3

Já para o momento angular final, temos o conjunto bola+braço em rotação.

Podemos calcular o momento angular L de um sistema em rotação a partir de:

L = I T ω

Entretanto, o momento de inércia I T é a soma do momento de inércia do braço que já conhecemos com o momento de inércia da bola à uma distânica D do ponto de rotação:

I T = I + m D 2

Assim, ficamos com:

L = I + m D 2 ω

Passo 4

Conservando o momento angular, temos:

L 0 = L

m v D = I + m D 2 ω

Isolando a velocidade da bola v :

v = I + m D 2 ω m D

Substituindo os valores, temos:

v = 0,1 + 0,2 0,5 2 12 0,2 0,5

v = 0,1 + 0,05 12 0,1

v = 0,15 0,1 12

v = 1,5 12

v = 18   m / s

Ficamos com a alternativa (d).

Resposta

Letra (d)

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