Uma esfera homogênea de massa M e raio R está conectada sem atrito a um eixo vertical passando no seu centro. A esfera está inicialmente em repouso com um besouro de massa M / 100 parado na sua linha equatorial. Num dado instante o besouro começa a se mover ao longo da linha equatorial com velocidade de módulo constante v .

(a) Sabendo que existe atrito entre a esfera e o besouro, o momento angular total do sistema ‘esfera + besouro’ ´e conservado? Justifique.

(b) Calcule o momento de inércia do sistema ‘esfera + besouro’ em relação ao eixo mencionado. Dado: Momento de inércia de uma esfera homogênea de massa M e raio R ao redor de um eixo passando no seu centro: 2 M R 2 / 5   .

(c) Calcule a velocidade angular que a esfera adquire quando o besouro se movimenta.

Passo 1

a) Sim. O torque resultante é nulo, pois as forças de atrito entre a esfera e o besouro são internas, de modo que a soma dos torques externos é zero. E como:

τ = d L d t = 0

O momento angular não varia.

Passo 2

b) Aqui é bem simples, basta somar o momento de inércia com o do besouro em relação ao mesmo eixo.

I = 2 5 M R 2 + m R 2 = 2 5 + 1 100 M R 2 = 41 100 M R 2

Passo 3

c) Usando a conservação do momento angular(provada no item (a)), temos:

L a n t e s = L d e p o i s

Como o sistema estava em repouso no início, L a n t e s = 0

L d e p o i s = I e s f e r a ω e s f e r a + L b e s o u r o

No entanto:

L b e s o u r o = m v R

Portanto:

ω e s f e r a = - m v R 2 5   M R 2 = - 5 200 v R = - v 40 R

O sinal de menos mostra que a esfera roda pro sentido contrário da velocidade do besouro.

Resposta

a) Sim

b) I = 41 100 M R 2

c) ω e s f e r a = - v 40 R

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