Uma haste, muito fina e homogênea, de massa M e comprimento L está inicialmente parada, suspensa por um fio que passa pela metade da barra (considere o fio inextensivel e de massa despreziavel). Um projétil de massa m é lançado, com velocidade v → 0 perpendicular à barra contra um dos seus extremos, de forma que o projétil permanece cravado na barra e o sistema começa a girar num plano perpendicular ao eixo do fio. Nestas condições, o módulo da velocidade angular ( ω ) será dado por:

Dados: I C M = 1 12 M L 2   (barra)

(a) ω = 6 m v 0 L M + 3 m

(b) ω = 6 m v 0 L M + m

(c) ω = 2 m v 0 L 3 M + m

(d) ω = m v 0 L M + 3 m

(e) ω = m v 0 L 3 M + m

Passo 1

Temos uma colisão entre uma partícula e uma haste e queremos saber a velocidade angular ω do sistema após a colisão.

Como não há nenhuma força externa exercendo um torque no sistema:

τ R e x t = 0

Temos que o momento angular do sistema se conserva:

L 0 = L

OBS: Não é que não existem forças durante a colisão. Porém, a força que o projétil exerce sobre a haste é a mesma que a haste exerce sobre a bola só que com sentidos opostos... são forças internas ao sistema projétil+haste, por isso elas se cancelam assim como seus torques.

Passo 2

Beleza, mas porque usar a conservação de momento angular?

Se liga...

O momento angular de uma partícula (inicial) é dado por:

L → 0 = r → × p → = r → × m v → 0

Sendo o vetor r → o vetor posição da partícula:

Como eles são perpendiculares, o módulo daquele produto vetorial fica assim:

L 0 = m r v 0 s e n 90 ° = m r v 0

Sendo que r é igual a metade do comprimento da haste:

L 0 = m v 0 L 2

Após a colisão, temos que a haste e a partícula estão em rotação juntos.

O momento de inércia para um corpo extenso é calculado com:

L = I ω

Então, relacionando os momentos angulares, conseguimos achar a velocidade angular em função dos dados do problema:

L 0 = L

m v 0 L 2 = I ω

Passo 3

Precisamos agora, calcular o momento de inércia do sistema haste+projétil após a colisão.

O momento de inércia total será a soma dos momentos de inércia da haste e do projétil:

I = I h a s t e + I p

Passo 4

O momento de inércia de uma haste fina com o eixo passando perpencidularmente pelo CM é:

Logo temos:

I h a s t e = M L 2 12

Passo 5

Já o momento de inércia de uma partícula é dado por:

I = M R 2

Onde R é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Logo, o momento de inércia do projétil é:

I p = m L 2 2 = m L 2 4

Achamos então que o momento de inércia total é:

I = I h a s t e + I p

I = M L 2 12 + m L 2 4

Passo 6

Substituindo a expressão de I na conservação de momento angular, temos:

m v 0 L 2 = I ω

m v 0 L 2 = M L 2 12 + m L 2 4 ω

Cancelando um L dos dois lados:

m v 0 2 = M L 12 + m L 4 ω

ω = m v 0 / 2 M L 12 + m L 4

Passo 7

Agora, para achar o resultado igual a uma das alternativas, damos uma olhada lá...

Nenhuma das respostas apresenta fração no denominador.

Então, vamos retirar aquelas frações colocando em evidência:

ω = m v 0 / 2 1 12 M L + 3 m L

ω = 12 m v 0 2 M L + 3 m L

ω = 6 m v 0 L M + 3 m

Ficamos com a letra (a).

Resposta

Letra (a)

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