Questão discursiva.

Uma criança, com massa de 20   k g , corre em direção a um carrossel, de raio igual a 1,5   m e momento de inércia igual a 555   k g ∙ m 2 , que pode girar em torno de um eixo sem atrito.

A criança se aproxima com velocidade constante de módulo igual a 4   m / s tangencialmente ao carrossel, que está inicialmente em repouso.

  1. Determine o módulo do momento angular l da criança em relação ao eixo do carrossel, antes dessa pular sobre o carrossel. Considere a criança como uma partícula.
  2. A criança, então, pula e se agarra à lateral do carrossel e o sistema carrossel-criança passa a girar em conjunto com a mesma velocidade angular. Nesta situação, calcule:

  3. o momento de inércia I do sistema criança-carrossel;
  4. o módulo da velocidade angular e o sentido de rotação do sistema criança-carrossel.

Passo 1

Letra a)

O momento angular l da criança em relação ao eixo do carrossel é:

l → = r → × p →

Em módulo:

l = r ∙ p ∙ sen ⁡ θ

O θ é o ângulo entre os vetores, r → é o vetor de distância entre o eixo e a criança e p → é o momento linear da criança. O momento linear vai ser:

p → = m v →

A massa da criança é m = 20   k g e a velocidade dela v = 4   m / s .

p = 20 ∙ 4 = 80   k g ∙ m / s

A criança corre tangencialmente em direção ao carrossel e, quando chega lá, pula pra cima do carrossel.

Na iminência de pular no carrossel, a distância entre o eixo e a criança é:

r → = r = 1,5   m

O ângulo entre r → e p → é 90 ° e, por isso, o módulo do momento angular fica

l = r ∙ p = 1,5 ∙ 80 = 120   k g ∙ m 2 / s

Passo 2

Letra b)

O momento de inércia é o somatório

I s i s t e m a = ∑ i Δ m i ∙ r 2

Podemos separar a parte relativa à criança, e ficaremos com:

I s i s t e m a = ∑ i Δ m i ∙ r 2 + m ∙ r 2 = I c a r r o s s e l + m ∙ r 2

Assim, para acharmos o momento de inércia do sistema carrossel-criança, nós somamos ao momento de inércia do carrossel o da criança, lembrando que I c a r r o s s e l = 555   k g ∙ m 2 .

I s i s t e m a = 555 + 20 ∙ 1,5 2 = 555 + 45 = 600   k g ∙ m 2

Passo 3

Letra c)

Não há torques externos atuando no carrossel ou na criança, visto que além de não terem forças externas também não há atrito. Isso significa que o momento angular se conserva.

O momento angular inicial, logo antes da criança pular, é:

L c r i a n ç a + L c a r r o s s e l = L c r i a n ç a = 120   k g ∙ m 2 / s

O momento angular depois da criança pular é dado pelo produto do momento de inércia com a velocidade angular.

L s i s t e m a = I s i s t e m a ∙ ω = 600 ω

Igualando os dois:

120 = 600 ω

ω = 0,2   r a d / s

Igualando vetorialmente:

l → = I s i s t e m a ω →

O que significa que o sentido da velocidade angular será o mesmo do momento angular inicial da criança. Como a criança vem em sentido anti-horário, o sistema carrossel-criança também vai girar no sentido anti-horário.

Resposta

Letra a)

l = 120   k g ∙ m 2 / s

Letra b)

I s i s t e m a = 600   k g ∙ m 2

Letra c)

O sistema gira no sentido anti-horário com velocidade angular ω = 0,2   r a d / s .

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