Seja z = f x , y uma função de classe f 2 qualquer, definida em todo o R 2   . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:

b) Se (0,0) é um ponto crítico de f tal que d 2 f d x 2 0,0 > 0 e d 2 f d y 2 0,0 > 0 , então g x = f ( x , x ) satisfaz g ' ' 0 > 0 .

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Vamos testar se essa afirmação é falsa ou verdadeira ok? Ela nos diz que:

b) Se (0,0) é um ponto crítico de f tal que d 2 f d x 2 0,0 > 0 e d 2 f d y 2 0,0 > 0 , então g x = f ( x , x ) satisfaz g ' ' 0 > 0 .

Será mesmo? Genteee não vamo vacilar!! Vamos lembrar como calculamos máximos e mínimos de uma função de classe 2? Com uma matriz Hessiana beberes. Ela tem o seguinte formato:

H f x , y = d 2 f d x 2 d 2 f d x d y d 2 f d y d x d 2 f d y 2

O sinal de uma das derivadas mistas não é o suficiente pra determinar o sinal do hessiano. Pois, precisamos multiplicar elas pelas derivadas em cada variável da função.

Passo 2

Showzinho. Logo, corrigindo essa afirmativa, vamos reescrever ela assim:

Se ( 0,0 ) é um ponto crítico de f tal que d 2 f d 2 x 0,0 > 0   e d 2 f d 2 y 0,0 > 0 , então g x = f x , x satisfaz g ' ' 0 > 0 . Ou seja, garantindo só uma coordenada.

Portanto ela é falsa!

Resposta

F a l s a

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )