Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Derivadas Parciais e Vetor gradiente

Mostre que no ponto 0,0 a função

f x , y = 2 x y x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

Não é contínua, não é diferenciável, porém tem derivadas parciais.

Passo 1

Vamos começar vendo que a função não é contínua. Para isso vamos achar o limite da função no ponto 0,0 , vamos começar substituindo os valores de x e y .

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x y x 2 + y 2 = 0 0 + 0 = 0

Caímos em uma indeterminação do tipo 0 / 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o grau de cima e o grau de baixo são iguais, antes de qualquer coisa vamos fazer a aproximação y = m x e ver quanto vai ser esse limite.

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x y x 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x m x x 2 + m x 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ 2 m x 2 x 2 + m 2 x 2 =

⇒ lim x , y → 0,0 ⁡ 2 m x 2 x 2 1 + m 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ 2 m 1 + m 2 = 2 m 1 + m 2

Então o limite depende do caminho, dessa forma o limite não existe, e a função não é contínua.

O fato da função não ser contínua faz com que a função não seja diferenciável também.

Passo 3

Ver que a função tem derivadas parciais é o mais fácil, basta calcular as derivadas parciais. Lembra quando temos a função definida em um ponto usamos a definição para achar a derivada parcial?

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ 0 x 2 + 0 2 - 0 x = lim x → 0 ⁡ 0 x = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 0 2 + y 2 - 0 y = lim y → 0 ⁡ 0 y = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Pronto mostramos exatamente o que ele pediu.

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