Seja z = f x , y uma função de classe f 2 qualquer, definida em todo o R 2   . Assinale todas as afirmações falsas. Escolha uma ou mais:

a) Se f 1,1 = f ( 3,3 ) , então d f d x x , x = - d f d y ( x , x ) para algum x ϵ ( 1,3 ) .

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Vamos testar se essa afirmação é falsa ou verdadeira ok? Ela nos diz que:

  1. Se f 1,1 = f ( 3,3 ) , então d f d x x , x = - d f d y ( x , x ) para algum x ϵ ( 1,3 ) .

Será mesmo? Pela propriedade de derivadas em funções de classe 2, o sinal da derivada de f em x garante crescimento somente em direções paralelas a esse eixo (ou seja, so garante crescimento em f ( y , y ) ).

Passo 2

Showzinho. Vamos testar: Vou pegar uma função qualquer f x , y = x - 2 y . Vou, igual a nossa afirmativa, aplicar um ponto qualquer f ( 1,1 ) :

f x , y = x - 2 y

f 1,1 = 1 - 2 ⋅ 1

f 1,1 = - 1

Aplicando um ponto qualquer onde f x x , y = 1 (a derivada da função em x, ou d f / d x ( x , x ) ).

Ao aplicarmos um f ( 2,2 ) , temos:

f x , y = x - 2 y

f 2,2 = 2 - 2 ⋅ 2

f 2,2 = - 2

Logo,

f 2,2 = 2 < - 1 = f ( 1,1 )

Comprovando que f ( 2,2 ) é maior que f ( 1,1 ) , e não igual como a afirmativa nos mostra. Logo, corrigindo essa afirmativa, vamos reescrever ela assim:

Se d f d x x , y > 0   p a r a   t o d o   x , y ϵ R 2 ,   e n t ã o   f 2,2 > f ( 1,1 ) .

Portanto ela é falsa, porque provamos pelo menos 1 caso aonde isso não acontece.

Resposta

F a l s a

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )