Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Seja

f x , y = x y x 2 + y 2   ,   s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,   s e   x , y = ( 0,0 )

É correto afirmar que:

a 0 ≤ f x , y ≤ y para todo x , y ∈ R 2

b f é contínua na origem

c f é diferenciável na origem

d f x , y → 0 quando x , y → ( 0,0 ) ao longo de qualquer reta que passa pela origem

e f tem derivadas parciais na origem

Passo 1

Vamos analisar cada afirmação.

Começando pela letra a :

0 ≤ f x , y

Diz que f é sempre positiva. Mas isso não faz sentido né?

Tanto x quanto y podem assumir valores negativos e, se isso não acontecer ao mesmo tempo, a nossa f será negativa também.

Logo, essa primeira afirmação é falsa.

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Passo 2

Vamos para a letra b :

Para f ser contínua na origem, é preciso que

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = f 0,0 = 0

Vamos calcular esse limite então.

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Bem, não sei se isso já é claro na sua cabeça, mas esse é um limite batido, que, quando calculado por caminhos diferentes, dá resultados diferentes, portanto, é um limite que não existe.

Mas, se não for obvio pra você isso, não tem problema. Você pode identificar isso observando que o grau do numerador e do denominador são iguais (2). E isso é um indicio de que o limite não vai existir.

Calculando por caminhos diferentes então, vamos ter:

x = 0   ⇒   lim x , y → 0,0 ⁡ 0 . y 0 2 + y 2 = 0

x = y   ⇒   lim x , y → 0,0 ⁡ y y y 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ y 2 2 y 2 = 1 2

Assim, o limite não existe, e se ele não existe, a função não pode ser contínua na origem.

Então, a afirmativa b também é falsa.

Passo 3

A afirmativa c é um presente pra gente, que é craque em diferenciabilidade, não é mesmo!? (nem vem dizer que não é, porque é sim, aiaiai)

Se a função não é sequer contínua na origem, então ela não pode ser diferenciável né?

Então a letra c é uma falácia.

Passo 4

Olha ai outro presente pra gente!

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Não pode ser igual a zero ao longo de todas as retas que passam pela origem, porque já vimos no passo 2 que esse limite não existe.

Mais uma mentira aí pra conta da questão.

Passo 5

Finalmente, por eliminação, só pode ser essa a alternativa verdadeira.

Mas como nosso objetivo aqui é estudar e se preparar pra prova, vamos mostrar porque ela é verdadeira.

Vamos calcular as derivadas parciais na origem, usando a definição de derivadas parciais.

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x = 0

Passo 6

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y = 0

  Tá vendo, as derivadas parciais não só existem, como valem zero, as duas.

Resposta

L e t r a   e

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