Seja f x ,   y = x x 2 + y 2 .

a) Verifique que f é de classe C 1 em R 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função f x ,   y = x x 2 + y 2 é de classe C 1 em R 2 . Para uma função de duas variáveis ser de classe C 1 , ela precisa ser diferenciável.

Então, as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y precisam existir e serem contínuas. Sendo assim, vamos derivar a função parcialmente em relação a cada variável e verificar se a função resultante está definida para todo x ,   y ∈ R 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x ,   y = x x 2 + y 2 em relação a x :

∂ ∂ x x x 2 + y 2

Usando a regra do produto, temos:

∂ ∂ x = x 2 + y 2 + 2 x 2 2 x 2 + y 2

∂ ∂ x = 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

Agora derivando em relação a y , vamos obter:

∂ f ∂ y x x 2 + y 2 = x y x 2 + y 2

O resultado das derivadas, mostra duas funções contínuas em R 2 . Então, podemos dizer que f x ,   y = x x 2 + y 2 é de classe C 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

É   d e   c l a s s e   C 1

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )