Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 14.

Mostre que no ponto ( 0,0 ) a função

f x , y = x 3 - y 2 x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

Não é contínua, não tem uma das derivadas parciais e não é diferenciável.

Passo 1

Para analisar a continuidade da função, temos que calcular o limite dessa função quando ( x , y ) tender a ( 0,0 ) . E, como ele pede pra mostrar que essa função não é contínua, então esse limite deve ser diferente de f 0,0 = 0 ou deve não existir.

Vamos então calcular esse limite para ver o que acontece.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 - y 2 x 2 + y 2

Substituindo no ponto ( 0,0 )

x 3 - y 2 x 2 + y 2 = 0 3 - 0 3 0 2 + 0 2 = 0 0

Chegamos a indeterminação 0 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para sair disso, vamos primeiramente, tentar por caminhos diferentes, já que temos termos em x e y com expoentes diferentes somados, de modo que é bem provável que esse limite não exista.

Assim, pelo caminho ( t , t ) , temos

lim t , t → 0,0 ⁡ t 3 - t 2 t 2 + t 2 = t 2 t - 1 2 t 2 = t - 1 2 = - 1 2

Passo 3

Agora vamos tentar o caminho ( t , 0 )

lim t , 0 → 0,0 ⁡ t 3 - 0 2 t 2 + 0 2 = t ³ t 2 = t = 0

Yesss! Como a gente previu, esse limite não existe, já que por dois caminhos diferentes, chegamos a resultados diferentes.

Desse modo, a função não é contínua em ( 0,0 ) .

A partir dessa conclusão, podemos, de quebra, tirar outra conclusão: de que a função também não é diferenciável em ( 0,0 ) , já que se não é sequer contínua, não tem como ser diferenciável pois para ser diferenciável, tem que ser, antes de tudo, contínua.

Passo 4

Agora, vamos provar que ela não tem uma das derivadas parciais.

E para isso, vamos tentar calcular as derivadas parciais e ver qual que não existe.

Como temos uma função definida por intervalos, precisamos usar a definição de derivadas parciais para calcular f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) .

Começando por f x 0,0 .

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 x 3 x 2 - 0 x = l i m x → 0   1 = 1

Agora f y ( 0,0 ) :

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = l i m y → 0 - y 2 y 2 - 0 y = l i m y → 0 - 1 y = - ∞

Ou seja, f x ( 0,0 ) existe e é igual a 1, mas f y ( 0,0 ) não existe.

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