Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Derivadas parciais

Dada a função

f x , y = x y 2 3 x 2 - y 4 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

  1. Calcule o lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y , se este limite existir. Justifique sua resposta!
  2. A função é continua na origem? Justifique sua resposta!
  3. A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta!

Passo 1

a)

Vamos primeiro achar esse limite. Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 2 3 x 2 - y 4 = 0 0 2 3 ( 0 ) 2 - ( 0 ) 4 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica.

E além disso, temos x e y somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir x = m y 2 para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 2 3 x 2 - y 4 = lim y → 0 ⁡ m y 2 y 2 3 m y 2 2 - y 4

lim y → 0 ⁡ m y 4 3 m 2 y 4 - y 4 = lim y → 0 ⁡ m y 4 y 4 3 m 2 - 1

lim y → 0 ⁡ m 3 m 2 - 1 = m 3 m 2 - 1

Então esse limite está dependendo do caminho.

Logo, não existe limite!

Passo 4

b)

Se o limite não existe a função não é continua nesse ponto.

Passo 5

c)

Lembra dos teoremas de diferenciabilidade?

  1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
  2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

O contrario do primeiro teorema seria

Se uma função não é continua em um ponto, então ela não é diferenciável nesse ponto;

Então a função não é diferenciavel.

Resposta

  1. Não existe
  2. Não
  3. Não

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas