Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia, Limites e Continuidade

Considere a função:

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   s e x , y ≠ 0,0   0 , s e x , y = 0,0  

  1. A função f é contínua em 0,0 ? Justifique!
  2. Calcule as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .
  3. Determine as derivadas parciais δ f δ x x , y e δ f δ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável na origem? Justifique a sua resposta!

Passo 1

a)

Vamos lá... O que é uma função ser contínua? Nada mais é do que o limite quando ela tende a um ponto ser exatamente igual ao valor dela nesse ponto! Já sabemos o valor de f 0,0 , que, pelo enunciado, é 0 . Agora vamos calcular o seguinte limite:

l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2

E veremos se ele é igual ou não ao valor da função nesse ponto. Se não for, então a função não é contínua. Se for, teremos que usar o teorema do sanduíche para ver se o limite realmente existe e é igual a f 0,0 .

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Passo 2

Vamos tentar alguns caminhos?

Como temos uma soma no denominador, então optaremos primeiramente por um caminho que percorra ou o eixo x ou o eixo y . Por exemplo, pela reta y = 0 , teremos a curva γ t = t , 0 , com t sendo qualquer número real, e limite fica:

l i m x , y → 0,0 x . 0 x 2 + 0 2 = 0 x 2 = 0

Aí está, o limite encontrado foi 0 !

Lembrando que isso não quer dizer que o limite exista e seja de fato igual a 0 . Mesmo que no próximo passo encontremos 0 , isso não quer dizer que o limite exista! Se por acaso isso acontecer, parta para o Teorema do Sanduiche ;)

Passo 3

Beleza, agora tentemos outro caminho. Como o grau do denominador é 2 e no numerador temos um produto de variáveis de grau 1 , é uma boa ideia tentar manter o mesmo grau em cima e embaixo. O caminho que atende bem a isso é a reta y = x , ou seja, a parametrização γ t = t , t . E o limite fica:

l i m x , y → 0,0 t . t t 2 + t 2 = t 2 2 t 2 = 1 2

Opa! Deu diferente que o anterior! Mano, isso é realmente ótimo, porque economizamos o tempo que seria gasto provando a possível existência desse limite pelo teorema do sanduíche...

Logo, a função não é contínua por que o limite quando ela tende à origem não existe ;)

Passo 4

b)

Vamos fazer essas derivadas parciais? Não podemos simplesmente derivar 0 , que é o valor que ela assume na origem, certo? Então vamos apelar para a definição da derivada parcial!

Em relação a x fica:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

= lim x → 0 ⁡ x . 0 x 2 + 0 2 - 0 x = lim x → 0 ⁡ 0 x 2 x = l i m x → 0 0 x 3 = 0

E é isso, a derivada parcial em relação a x é 0 :)

Passo 5

Em relação a y fica:

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

= lim y → 0 ⁡ 0 . y 0 2 + y 2 - 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 y 2 y = l i m y → 0 0 y 3 = 0

E aí está, a derivada em relação a y é 0 !

Passo 6

c)

Legal, essa é mais fácil, só fazer a derivada de cálculo 1, tratando a outra derivada como constante (lembrando que derivada de constante é 0 ). Nessa função, temos que usar a regra do quociente: derivada da função de cima vezes a função de baixo, menos a derivada de baixo vezes a função de cima, e tudo isso dividido pela função de baixo ao quadrado ;)

A derivada em relação a x é:

f x x , y = y . x 2 + y 2 - 2 x x y x 2 + y 2 2 =

y x 2 + y 3 - 2 x 2 y x 2 + y 2 2 =

y 3 - x 2 y x 2 + y 2 2

E a derivada em relação a y é:

f y x , y = x . x 2 + y 2 - 2 y . x y x 2 + y 2 2 =

x 3 + x y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2 =

x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 7

d)

Como a função não é contínua na origem, ela já não é diferenciável. Além disso, se você olhar para as derivadas que encontramos, a origem não é um ponto na qual ela é contínua, por que o denominador da fração seria 0 !

Resposta

  1. A função não é contínua por que o limite quando ela tende à origem não existe
  2. δ f δ x 0,0 = δ f δ y 0,0 = 0
  3. f x x , y = y 3 - x 2 y x 2 + y 2 2 e f y x , y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2
  4. Não, por que a função não é contínua na origem.

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