Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 23.

Diga se as afirmativas são verdadeiras ou falsas. Justifique se forem verdadeiras e dê um contraexemplo para as falsas.

Assuma que f   : R n → R , n ≥ 2 , o domínio D f é aberto e X 0 ∈ D f .

  1. Se f é contínua em X 0 então f é derivável em X 0 .
  2. Se f é contínua em X 0 então f possui as derivadas parciais em X 0 .
  3. Se f possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é contínua em X 0 .
  4. Se f possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é derivável em X 0 .
  5. Se f é contínua e possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é derivável em X 0 .
  6. Se f é derivável em X 0 então f possui todas as derivadas parciais em X 0 .
  7. Se f é derivável em X 0 então f é contínua em X 0 .
  8. Se f é derivável em X 0 então todas as suas derivadas parciais são contínuas em X 0 .
  9. Se f possui todas as derivadas parciais contínuas em X 0 então f é derivável em X 0 .
  10. Se f não possui uma das derivadas parciais em X 0 então f não é derivável em X 0 .
  11. f possui todas as derivadas parciais continuas em X 0 se, e somente se, f é derivável em X 0

Passo 1

a )

Falso! O contrário dessa afirmação é verdadeiro, mas o que está escrito aí não. Não se confunda com isso! Diferenciabilidade implica continuidade, mas o contrário não é verdadeiro. Existem várias funções contínuas que não são diferenciáveis, como por exemplo:

f x , y = x 3 x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

Ela é contínua em ( 0,0 ) , mas quando vamos calcular aquele limitão, ele não é zero (ele nem existe, na verdade).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Falso. Assim como a função ser continua não tem nenhuma relação direta com ela ser diferenciável, o fato de ela ser contínua, não significa que ela tenha derivadas parciais. Por exemplo, a função

f x , y = | x + y |

É contínua pois ela é composta por funções contínuas, mas não tem derivadas parciais.

Essa função tem um “bico” na origem. Assim, quando temos calcular suas derivadas parciais pela definição,

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Percebemos que se tendermos a zero pela esquerda temos que esses limites dão -1. Já se tendermos a zero pela direita, esse limite dá +1. Assim, as derivadas parciais não existem.

Passo 3

c )

Falso. Ter derivadas parciais apenas não significa nem que a função é diferenciavel, quem dirá contínua. Por exemplo, a função

f x , y = 2 x y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

Não é contínua, porém, suas derivadas parciais existem.

Passo 4

d )

Falso. Não basta que as derivadas parciais existam: elas também têm que ser contínuas no ponto.

Podemos usar o mesmo exemplo do item anterior. A função

f x , y = 2 x y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

Não é contínua, logo, não pode ser diferenciavel, porém, suas derivadas parciais existem.

Passo 5

e )

  1. Se f é contínua e possui todas as derivadas parciais em X 0 então f é derivável em X 0 .

Falso.

Diferenciabilidade implica continuidade, mas o contrário não é verdadeiro. Existem várias funções contínuas que não são diferenciáveis. Além disso, para ser diferenciável, não basta que as derivadas parciais existam: elas também têm que ser contínuas no ponto.

Passo 6

f )

Verdadeiro! (Aleluia!)

A justificativa? Isso é um teorema hehe

Passo 7

g )

Verdadeiro! Isso também é um teorema: diferenciabilidade implica continuidade.

Passo 8

h )

Falso!!! O teorema diz que “Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto”. Mas a recíproca N-Ã-O é verdadeira. Por exemplo, a função

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

É diferenciavel (pois aquele limitão é igual a zero), mas a derivada parcial em relação a x não é contínua.

Passo 9

i )

Verdadeiro. Outro teorema: Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 10

j )

Verdadeiro. Se f é derivável em X 0 , então possui todas as derivadas parciais em X 0 . A afirmação desse item é uma contra recíproca desse teorema e, portanto, é verdadeira.

Passo 11

k )

Falso. Esse “se e somente se” é aquela setinha de ida e volta. A ida, de fato, vale, ou seja, f   possui todas as derivadas parciais contínuas em X 0 se f é derivável em X 0 .(É um teorema). Mas a volta, isto é, a reciproca desse teorema, não é verdadeira. Por exemplo, a função

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

É diferenciavel (pois aquele limitão é igual a zero), mas a derivada parcial em relação a x não é contínua.

Conforme vimos no item h .

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