Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Considere a função

f x , y = x 2 y x 4 + y 2   ,   x , y ≠ 0,0 0   ,   x , y = 0,0

  1. As derivadas parciais de f na origem existem?
  2. A função é contínua na origem?
  3. A função é diferenciável na origem?

Passo 1

a )

Aqui temos uma função definida por partes, então vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar 0 ! Então vamos lá, para a derivada em relação a x ,

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ 0 x 4 - 0 x - 0 = 0 x 5 = 0

E aí está! Nossa derivada em relação a x é 0 !

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Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 y 2 - 0 y - 0 = 0 y 3 = 0

Novamente, nossa derivada deu 0 . Derivada parcial em relação a y é 0 !

Assim, as derivadas parciais de f existem na origem e as duas valem zero.

Passo 3

b )

Agora precisamos saber se essa função é contínua na origem.

Para uma função ser contínua, em qualquer ponto que seja, o limite dela quando ela tende a esse ponto deve ser igual ao valor dela para o tal ponto. Então, como sabemos que na origem o valor da função é 0 , temos que verificar se o limite quando ela tende a 0 é de fato 0 !

Sem mais papo, vamos resolver isso aqui:

l i m x , y → 0,0 x 2 y x 4 + y 2  

Passo 4

Mano, então, para provar que o limite existe e é igual a um número, temos que usar o Teorema do Sanduíche, normalmente –e particularmente, eu odeio isso. Então, antes de mais nada, vamos tentar provar que ele não existe, o que é muito mais fácil, beleza? Até porque, se você reparar, o grau do numerador (3) é menor que o grau do denominador (4) e isso é um indício de que esse limite aí não vai existir.

Provar que não existe um limite nada mais é do que encontrar dois valores diferentes para o limite da função (uma função que tem dois limites não possui limite!).

Então, vamos verificar qual seria o limite se percorrermos a função pela curva y = 0 (ou seja, pelo próprio eixo x ):

l i m x , y → 0,0 x 2 0 x 4 + 0 2 = 0 x 4 = 0

Beleza, encontramos 0 como limite. Vamos continuar tentar para outras curvas, pelo menos pra mais duas até partir para o teorema do sanduiche!

Passo 5

Aqui vem uma dica importante: Viu que no numerado temos um produto e no denominador uma soma? Então vamos fazer com que o produto em cima tenha o mesmo grau da soma embaixo, que já vimos que é 4. Assim, se tentarmos pela curva y = x 2 , teremos:

l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 x 4 + ( x 2 ) 2 = x 4 2 x 4 = 1 2

E assim, conseguimos um outro valor pro limite! E como o mesmo limite não pode ter dois valores diferentes, o limite

l i m x , y → 0,0 x 2 y x 4 + y 2  

não existe.

Conclusão: Função não é contínua na origem porque o limite quando ela tende a 0,0 não existe!

Passo 6

c )

Se a função não é sequer contínua na origem, ela muito menos pode ser diferenciável, né? Já dizia o teorema...

Então, a resposta aqui é: não, porque ela não é contínua na origem.

Resposta

a ) As derivadas parciais de f existem na origem e as duas valem zero.

b )   A função não é contínua na origem porque o limite quando ela tende a 0,0 não existe.

c ) A função não é diferenciável na origem porque ela não é contínua na origem.

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