Seja f   ( x ,   y )   =   x e y   +   s e n ( 2 x y ) uma função de duas variáveis.

b) Explique por que a função f (x, y) é diferenciável no ponto (1, 0).

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente explicar por que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (1,0). Bem, para isso, primeiro precisamos saber quando uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto. Basicamente, ela deve satisfazer às seguintes condições:

i) A função f(x,y) deve ser contínua nesse ponto.

ii) Para ser diferenciável em um ponto, a função deve possuir derivadas parciais nesse ponto.

Como a função é dada pela soma de duas funções contínuas (uma exponencial e um seno), temos que a função é contínua sobre o plano, e consequentemente, também no ponto (1,0).

Agora, precisamos verificar a segunda condição. Mas para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f(x,y). Então bora lá derivar!

Passo 2

Para derivar uma função de duas variáveis em relação a uma delas, precisamos considerar a outra como constante durante o processo. Então, vamos começar calculando a derivada parcial de f(x,y) em relação à x, considerando y como constante:

f x = ∂ ∂ x f ( x , y ) = ∂ ��� x x e y + ∂ ∂ x s e n ( 2 x y ) = e y + 2 y   c o s ( 2 x y )

Agora, para encontrar a derivada parcial de f(x,y) em relação à y, fazemos a mesma coisa, mas dessa vez considerando x como constante. Assim, como a derivada da exponencial é ela mesma, obtemos:

f y = ∂ ∂ y f ( x , y ) = ∂ ∂ y x e y + ∂ ∂ y s e n ( 2 x y ) = x e y + 2 x   c o s ( 2 x y )

No ponto (1,0) temos que as derivadas f x e f y assumem, respectivamente, os valores 1 e 3. Portanto, a função possui derivadas parciais no ponto (1,0). Assim, a função f(x,y) é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Desenvolvida ao longo da questão.

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