Uma janela tem a forma de um retângulo sob uma semicircunferência. Para um perı́metro de 5

metros, encontre as dimensões de tal janela de forma que ela admita a maior quantidade possı́vel

de luz.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para encontrar as dimensões de uma janela que consiste de um retângulo sob uma semicircunferência, como ilustrado na figura abaixo:

Como queremos que a janela admita a maior quantidade de luz possível, queremos construí-la tal que sua área seja a maior possível, mas com um perímetro definido de 5m. Bem, da imagem, vemos que o perímetro P(R,x) da janela é composto pelo perímetro da semicircunferência mais 3 lados do retângulo:

P ( R , x )   =   5   =   R ( π + 2 ) + 2 x

A área A(R,x) da janela, por sua vez, vai ser dada pela soma da área do retângulo e do semicírculo:

A ( R , x ) = π R 2 2 + 2 R x

A gente vê, então, que a área total da janela depende de duas variáveis: do raio da semicircunferência e da altura do retângulo. No entanto, podemos nos livrar de uma dessas variáveis através do vínculo dado pelo perímetro, que tem um valor definido. Da relação do perímetro, obtemos

  5   =   R ( π + 2 ) + 2 x ⇒ x = 5 - R ( π + 2 ) 2

Substituindo na expressão para a área, temos:

A ( R ) = π R 2 2 + 2 R 5 - R ( π + 2 ) 2 = 5 R - R 2 π 2 + 2

Agora, temos uma expressão para a área que só depende de uma variável e queremos determinar qual deve ser o valor dessa variável para que a área seja máxima. Bem, a gente sabe que em um ponto de extremo de uma função, a sua derivada é nula. Então, para descobrir qual deve ser o tamanho do raio para que a área seja máxima, só precisamos derivar a função A(R) em relação à R e igualar a zero! Então vamos lá derivar!

Passo 2

Como a derivada de uma soma de funções é simplesmente a soma das derivadas, temos que a derivada de A(R) é

A ' ( R ) =   5   - 2 R π 2 + 2

Para maximizar a área, temos que a derivada tem que ser nula. Então, igualando a expressão acima a zero, obtemos:

5   - 2 R π 2 + 2 = 0   ⇒ R = 5 π + 4

Então, com o valor do raio determinado, podemos determinar também qual deve ser a altura do retângulo através do vínculo encontrado para x e o R, dado pelo perímetro. Substituindo o valor de R obtido, encontramos:

x = 5 - R ( π + 2 ) 2   ⇒   x   =   5 2 1 - π + 2 π + 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Raio da semicircunferência: 5 π + 4   m

Altura do retângulo: 5 2 1 - π + 2 π + 4   m

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