Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Dada a função

f x , y = 2 x + y x + y s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

  1. A função é continua na origem? Justifique sua resposta.
  2. A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

a)

Vamos começar substituindo os valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ 2 x + y x + y = 2 ⋅ 0 + 0 0 + 0 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica.

E além disso, temos x e y somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir x = m y para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x + y x + y = lim y → 0 ⁡ 2 m y + y m y + y

Se pegarmos y positivo vamos ter

lim y → 0 + ⁡ 2 m y + y m y + y = lim y → 0 + ⁡ y 2 m + 1 y m + 1

lim y → 0 + ⁡ 2 m + 1 m + 1 = 2 m + 1 m + 1

Então esse limite está dependendo do caminho.

Logo, não existe limite!, não precisamos nem pegar o limite pelo outro lado.

Se o limite não existe ela não é continua.

Passo 4

b)

Se a função não é continua ela não é diferenciável.

Resposta

  1. Não
  2. Não

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