Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Limites e Continuidade

Dada a função f x , y = x 3 y 2 x 6 + y 2 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

(a) Mostre que o lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0 , ao longo de qualquer reta y = m x .

(b) A função é contínua na origem? Justifique sua resposta.

(c) A função é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

(a)

Basicamente vamos substituir y = m x na expressão da função e calcular o limite, só isso! Inclusive vai ser um limite estilo cálculo 1, teoricamente mais tranquilo de calcular.

Então vamos lá:

lim x → 0 ⁡ f x , m x = l i m x → 0 x 3 m x 2 x 6 + m 2 x 2

Fatorando pelo termo de maior grau do numerador (lembra disso? haha), temos:

l i m x → 0 m x 4 x 4 2 x 2 + m 2 x 2 = l i m x → 0 m 2 x 2 + m 2 x 2

E

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + m 2 x 2 = + ∞  

Logo

l i m x → 0 m 2 x 2 + m 2 x 2 = 0

Portanto, ao longo de qualquer reta y = m x temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

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Passo 2

(b)

Agora ele quer saber se a função é contínua na origem. Ou seja, se pra qualquer caminho que a gente usar pra calcular o limite vamos ter

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Acabamos de provar isso pelos caminhos do tipo y = m x .

Então partiu!

A gente pode tentar aplicar o teorema do sanduíche. Vamos dar uma olhada na função:

f x , y = x 3 y 2 x 6 + y 2

Repare que não temos nenhum termos do tipo

x 2 x 2 + y 2 ,   x x + y     o u   x x 2 + y 2

nem funções trigonométricas.

Então não tá muito promissor pro teorema do sanduba. Vai ser mais fácil tentar provar que o limite não existe!

Passo 3

Já vimos que fazendo y = m x tá tudo ok com o limite, então vamos tentar por outros caminhos!

Digamos y = m x ² . Vamos ter

lim x → 0 ⁡ f x , m x 2 = l i m x → 0 x 3 m x 2 2 x 6 + m 2 x 4 = lim x → 0 ⁡ x 5 m 2 x 5 x + x 5 m 2 x

Usando o mesmo macete da letra (a) isso dá

lim x → 0 ⁡ x 5 m x 5 2 x + m 2 x = lim x → 0 ⁡ m 2 x + m 2 x = 0

Deu zero assim também, então por enquanto não provamos nada! Mas vamos continuar tentando :)

Passo 4

Vamos tentar agora com y = m x 3 :

lim x → 0 ⁡ f x , m x 3 = l i m x → 0 x 3 m x 3 2 x 6 + m 2 x 6 = lim x → 0 ⁡ x 6 m 2 x 6 + m 2 x 6

O que dá

lim x → 0 ⁡ x 6 m x 6 2 + m 2 = lim x → 0 ⁡ m 2 + m 2 ≠ 0 ,     ∀ m ≠ 0

Opa! Agora deu certo!

Com m = 1 por exemplo, ou seja, y = x 3 , o limite da 1 3 , e não o 0 que seria se a função fosse contínua.

Portanto, a função não é contínua na origem!

Passo 5

(c)

Pra essa questão não vai ter muito mistério não! Queremos saber se f é diferenciável na origem, mas já vimos que ela não é contínua nesse ponto. E temos, para um funç��o f ( x , y ) em algum ponto:

d i f e r e n c i é v e l   ⇒   c o n t í n u a

Logo:

n ã o   c o n t í n u a   ⇒     n ã o   d i f e r e n c i á v e l

Toda função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto, então a f não sendo contínua na origem, acabou o problema: ela não também não é diferenciável na origem!

Observação: a f poderia ser contínua mas não diferenciável!

Resposta

(a)

lim x → 0 ⁡ f x , m x = l i m x → 0 x 3 m x 2 x 6 + m 2 x 2 = 0

(b) Não.

(c) Não.

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