Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Passo 1

Como nossa função tem duas definições, uma para x , y = ( 0,0 ) e outra para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , vamos analisar a diferenciabilidade dela separadamente.

Para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) a função é diferenciável pois é o quociente entre duas funções polinomiais, que são diferenciáveis.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já para x , y = ( 0,0 ) , precisamos testar a continuidade da função. Vamos lá.

Para essa função ser contínua na origem, basta que o limite dela, na origem, seja o próprio valor que ela assume no ponto ( 0,0 ) , ou seja,

l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = 0 ⁡

Mas, aqui vem um truque: é muito mais fácil provar que o limite não existe!

E como que eu sei disso? Porque o grau do numerador é igual ao grau do denominador.

Então vamos tentar.

Passo 3

Podemos calcular o valor do limite pra uma infinadade de caminhos, então vamos escolher os mais fáceis! Uma boa é testar primeiro x = 0 e y = 0 . Então vamos lá:

x = 0 ⇒ l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m y → 0 0 0 + y 2 = 0

Passo 4

Agora testando y = 0 :

y = 0 ⇒ l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m x → 0 x 2 x 2 + 0 = 1

Opa! Obtivemos 2 resultados diferentes! Portanto o limite não existe, e a função não é contínua na origem.

Passo 5

E sabemos que

n ã o   c o n t í n u a ⇒ n ã o   d i f e r e n c i á v e l

Logo, f é diferenciável em todo o R 2 , menos na origem.

Resposta

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