Determine o conjunto de pontos de R 2 onde f não é diferenciável, sendo

c .   f x , y = e x 4 + y 4

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função aqui

f x , y = e x 4 + y 4

E pediu para acharmos o conjunto de pontos em que ela não é diferenciável

Então precisamos relembrar quais os critérios que deixam uma função diferenciável em todo R 2

  1. Ela precisa ser contínua sempre em todos os pontos no R 2
  2. Ela precisa ter derivadas parciais em todo R 2
  3. Essas derivadas parciais precisam ser contínuas em todo R 2

Então precisamos analisar cada um dos itens!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade dessa função

f x , y = e x 4 + y 4

Como é uma exponencial, que é contínua em todo domínio!

Então até aqui tudo bem.

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada! Começando pela parcial em x

  f x , y = e x 4 + y 4

∂ f ∂ x = e x 4 + y 4 . 1 2 x 4 + y 4 . 4 x 3

Essa derivada é contínua sempre, pois em x = 0 temos ∂ f ∂ x = 0 e não temos problema quando y = 0 .

Então tudo bem até agora!

Passo 4

Derivando em relação à y vamos achar algo semelhante

∂ f ∂ y = e x 4 + y 4 . 1 2 x 4 + y 4 . 4 y 3

Então realmente temos derivadas contínuas em todo domínio! E podemos afirmar que é de classe C 1

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

é   d e   c l a s s e   C 1

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = x y ( 1,4 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )