Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Considere a função

f x , y = x y 2 3 x 2 + y 4

  1. Determine o domínio de f
  2. Suponha que queiramos estender f para todo o R 2 , ou seja, encontrar uma função g   :   R 2 → R que seja igual a f dentro de D (letra a ) mas que fosse definida em todo o R 2 . Seria possível encontrar uma tal g que fosse contínua? Justifique.
  3. Seria possível encontrar uma g que fosse diferenciável? Justifique.
  4. Seria possível encontrar uma tal g que admitisse funções derivadas parciais f x e f y contínuas? Justifique

Passo 1

a )

Opa, falou em domínio significa que temos que verificar as restrições de f .

Aqui, nossa única restrição é que é uma fração, então o denominador tem que ser diferente de zero.

Assim

3 x 2 + y 4 ≠ 0

E isso só acontece quando temos x , y = ( 0,0 ) .

Então, o domínio de f é

D = x , y ∈ R 2   ; x , y ≠ 0,0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Assim, para ela ser contínua na origem, precisamos primeiramente defini-la na origem E fazer com que o valor dela na origem seja igual ao limite dela quando ( x , y ) tendem a ( 0,0 ) .

Então na real mesmo, o que temos que fazer é calcular

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y )

E ver se ele existe. E, se ele existir, dizer que quando x , y = ( 0,0 ) , a função vale esse valor de limite que encontrarmos.

Passo 3

Vamos ver se ele existe então.

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 3 x 2 + y 4

Tentando por simples substituição, chegamos a indeterminação 0 0 .

Passo 4

Beleza, mas observa uma coisinha: o grau do numerador (3) é menor que o grau do denominador (4). Isso é um forte indicio de que esse limite não existe. Desse modo, vamos tentar calculá-lo por caminhos.

Por exemplo, através da parábola x = m y 2 :

lim x , y → 0,0 ⁡ m y 2 y 2 3 x 2 + y 4 =   lim x → 0 ⁡ m y 4 3 m y 2 2 + y 4 = lim x → 0 ⁡ m y 4 y 4 ( 3 m 2 + 1 ) = lim x → 0 ⁡ m 3 m 2 + 1 = m 3 m 2 + 1

Assim, como esse limite depende do caminho m , então ele limite não existe. Se ele não existe, não é possível definir a função no ponto ( 0,0 ) , isto é, dizer que ela é igual ao valor do limite. Assim, não é possível estender a função f de modo que a função resultante seja contínua na origem.

Passo 5

c )

Pô, nossa função não é sequer contínua na origem, como que ela poderia ser diferenciavel?

Então, não, né?

Passo 6

d )

Pra essa g poder ter derivadas parciais contínuas na origem ela precisaria ser diferenciável. Mas, como ela não é, isso também não é possível.

Resposta

  1. D = x , y ∈ R 2   ; x , y ≠ 0,0
  2. Não
  3. Não
  4. Não

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas