Seja f x , y = x 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

  1. f é diferenciável em ( 0,0 ) ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função de duas variáveis

f x , y = x 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

E perguntou se é diferenciável.

Mas como decifrar isso?

Vamos por partes! Para uma função ser diferenciável ela primeiro precisa ser contínua! Ela também precisa ter derivadas parciais existentes em todos em pontos do domínio. E essas duas condições nós já analisamos nos itens anteriores!

E tem mais um detalhe! Ela além desses dois itens, precisa ter a função erro igual a zero! Mas vamos por partes!

Então a ideia é resgatar esses resultados e verificar se ela é diferenciável!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar resgatando dos exercícios anteriores, temos que as parciais existem e valem

∂ f ∂ x = 1

∂ f ∂ y = 0

Isso para x , y ≠ ( 0,0 ) . Para x , y = ( 0,0 ) temos que a função é constante então

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = 0

Então temos que as derivadas não são contínuas, portanto, não temos um dos critérios que é a continuidade das derivadas!

Quando à continuidade está tudo bem

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 x 2 + y 2 = 0

Verificamos que esse limite existe e é zero! Deixando nossa função contínua!

Passo 3

Agora vamos ao cálculo do erro! Precisamos encontrar esse limite quando nossa função é ( 0,0 )

lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ f h , k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 . h - ∂ f ∂ y 0,0 . k h 2 + k 2

Substituindo os valores temos

lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ h 3 h 2 + k 2 - 0 - h - 0 . k h 2 + k 2 = lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ h 3 h 2 + k 2 - h h 2 + k 2

Vamos arrumar um pouco essa expressão

lim h , k → ( 0,0 ) ⁡ h 3 - h ( h 2 + k 2 ) h 2 + k 2 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h h 2 + k 2 . k 2 h 2 + k 2

Beleza? Nossa missão é analisar esse limite! Sabemos que

k 2 h 2 + k 2

É uma função limitada, sendo assim precisamos verificar se

lim h , k → 0,0 ⁡ h h 2 + k 2

Vai à zero! Beleza? Vamos supor h = k = t

lim t → 0 ⁡ t 2 t 2 = lim t → 0 ⁡ t 2 t

E esbarramos no problema do módulo! Para t → 0 + nosso limite fica

lim t → 0 + ⁡ t 2 t = 1 2

E para t → 0 - nosso limite fica

lim t → 0 - ⁡ t - 2 t = - 1 2

Logo não existe! E portanto nosso erro não é zero e nossa função não é diferenciável!

Resposta

n ã o

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )