Seja f : R 2 → R uma função diferenciável tal que f s x , s y = s f ( x , y ) , para todos x , y ∈ R 2 e s ∈ R . Se ∇ f 0,0 = ( 4,9 ) , então f ( 6,3 )

Escolha uma opção

a ) vale 0 .

b ) vale 66 .

c ) vale 51 .

d ) não pode ser determinado a partir dos dados fornecidos.

e ) vale 13 .

Passo 1

Oiie, tudo bem contigo?

O enunciado nos dá a definição de uma função, tal que f s x , s y = s f ( x , y ) , e pede para que achemos o valor de f ( 6,3 ) se sabemos que ∇ f 0,0 = ( 4,9 ) . Para resolver esta questão iremos precisar utilizar a regra da cadeia e lembrar as definições do vetor gradiente como

∇ f x , y = ∂ f x , y ∂ x , ∂ f x , y ∂ y

Vamos resolver a nossa questão! Saca só!

Passo 2

Utilizando a definição dada no enunciado, temos que no ponto ( 6,3 ) , a função toma a forma

f 6 s , 3 s = s f ( 6,3 )

Diferenciando em relação a s , temos que

f 6,3 = ∂ f 6 s , 3 s ∂ x d x s d s + ∂ f ( 6 s , 3 s ) ∂ y d y d s = ∂ f 6 s , 3 s ∂ x 6 + ∂ f ( 6 s , 3 s ) ∂ y 3

Que pode ser escrito em termos do vetor gradiente e um vetor ( 6,3 ) como o produto escalar

f 6,3 = ∇ f 6 s , 3 s ⋅ ( 6,3 )

Já percebeu como obtemos nosso resultado final? Se não, vem comigo!

Passo 3

Temos que se colocarmos s = 0 , temos

f 6,3 = ∇ f 0,0 ⋅ ( 6,3 )

Como o enunciado nos indica que ∇ f 0,0 = ( 4,9 ) , nosso produto escalar toma a forma

f 6,3 = 4 * 6 + 9 * 3 = 51

Ou seja, a alternativa correta é a alternativa c ) . A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

c ) Vale 51.

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = x y ( 1,4 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )