Seja z = f ( x , y ) uma função de classe f 2 qualquer, definida em todo o R 2 . Assinale todas as afirmações falsas.

Escolha uma ou mais:

c. Se ∂ f ∂ x x ,   y > 0 para todo x ,   y ∈ R 2 , então f 2 ,   2 > f ( 1 ,   1 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função z = f ( x , y ) e disse que se a derivada parcial dessa função em relação a x for positiva, ∂ f ∂ x x ,   y > 0 , então f 2 ,   2 > f ( 1 ,   1 ) . Será que isso é verdade?

Bom, pela propriedade de derivadas em funções de classe 2, o sinal da derivada de f em x garante o crescimento somente em direções paralelas a esse eixo, porque a derivada parcial está relacionada à inclinação do gráfico de f em relação a um eixo, certo? Por exemplo, se a gente tivesse uma parábola:

O d x realiza uma pequena alteração em x , então a gente não pode garantir que f 2 ,   2 > f ( 1 ,   1 ) .

Vamos testar uma função pra ficar mais claro!

Passo 2

Pegando uma função qualquer f ( x , y ) = x - 2 y . Vamos aplicar um ponto qualquer f ( 1,1 ) , como na nossa alternativa:

f ( x , y ) = x - 2 y

f ( 1 ,   1 ) = 1 - 2 ⋅ ( 1 )

f ( 1 ,   1 ) = - 1

Aplicando um ponto qualquer onde f x ( x , y ) = 1 (a derivada da função em x , ou d f / d x ( x , x ) ).

Ao aplicarmos um f ( 2,2 ) , temos:

f ( x , y ) = x - 2 y

f ( 2 ,   2 ) = 2 - 2 ⋅ ( 2 )

f ( 2 ,   2 ) = - 2

Logo,

f 2 ,   2 = - 2 < - 1 = f ( 1,1 )

Comprovando que f ( 2,2 ) pode ser menor que   f ( 1,1 ) . Portanto, nossa alternativa é falsa, porque provamos pelo menos 1 caso onde f 2 ,   2 > f ( 1 ,   1 ) não acontece.

É isso, galera! Encerramos o exercício! 😉

Resposta

F a l s a

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