Seja f : D f ⊂ R 2 → R 2 uma função de classe C 1 e considere D f p 1 , p 2 = a b c d a sua Jacobiana no ponto p 1 , p 2 ∈ D f . Suponha que a ≠ 0 e d ≠ 0 e que os vetores ( a , b ) e ( d , c ) sejam ortogonais entre si.

a )   Mostre que f admite uma inversa f - 1 em uma vizinhança de ( p 1 , p 2 ) .

Passo 1

Olá gente bonita do Responde Aí, como é que vocês estão?

Nessa questão temos uma função f vetorial de várias variáveis. Nesse caso é dito que ela é do R 2 no R 2 . Ou seja, é como se sua lei de formação fosse dada por:

f x , y = ( f 1 , f 2 )

Sobre essa função é dada a sua matriz Jacobiana em ( p 1 , p 2 ) , que nada mais é do que uma matriz com as derivadas das componentes de f com relação a suas variáveis no ponto ( p 1 , p 2 ) :

D f p 1 , p 2 = ∂ f 1 ∂ x p 1 , p 2 ∂ f 1 ∂ y p 1 , p 2 ∂ f 2 ∂ x p 1 , p 2 ∂ f 2 ∂ y p 1 , p 2

= a b c d  

Também é falado que a ≠ 0 , d ≠ 0 e ( a , b ) e ( d , c ) são ortogonais. Ou seja, o seu produto escalar vale:

a , b ⋅ d , c = 0

De posse de todas essas informações, o enunciado nos pede pra mostrar que a nossa função f admite uma inversa na vizinhança de ( p 1 , p 2 ) .

Pra provar isso precisamos relembrar um teorema muito importante! Basicamente, ele diz que uma função f possui inversa f - 1 nas proximidades de ( x 0 , y 0 ) se, e somente se, a jacobiana de f em ( x 0 , y 0 ) for invertível.

Perfeito! Vamos tentar provar isso então 😊

Passo 2

Para mostrar que f possui inversa f - 1 nas proximidades de ( p 1 , p 2 ) , queremos mostrar que a jacobiana de f em ( p 1 , p 2 ) é invertível.

Mas, para mostrar que uma matriz é invertível basta mostrar que o seu determinante é diferente de zero.

Então excelente! Temos que o determinante da Jacobiana vale:

a b c d = a d - b c

Precisamos então mostrar que a d - b c ≠ 0 .

Massa!

Pelo enunciado sabemos que ( a , b ) e ( d , c ) são ortogonais.

Então:

a , b ⋅ d , c = 0

∴ a d + b c = 0

Logo:

b c = - a d

Substituindo na nossa express��o do determinante, temos que:

a d - b c = a d - - a d

= 2 a d

Mas, como a ≠ 0 e d ≠ 0 , temos que:

2 a d ≠ 0

Logo, concluímos que o determinante da Jacobiana em ( p 1 , p 2 ) é diferente de zero, e consequentemente essa matriz é invertível. Portanto, existe inversa f - 1 nas proximidades de p 1 , p 2 .

Muito bom galera! Com isso finalizamos a nossa demonstração 😊

Até a próxima!!

Resposta

Resposta no texto.

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