Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em ( 0,0 ) :

a )   f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0 0 ,                                 s e   x , y = 0  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Nas questões de diferenciabilidade podemos testar uma coisinha antes: verificar se a função é contínua nesse ponto.

Se ela já não for, então ela não será diferenciável! Mas como mostrar que uma função é (ou não) contínua?

Através do limite! Vamos ver se os limites bilaterais são iguais ao valor da função no ponto! No nosso caso a função é dividida

f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0 0 ,                                 s e   x , y = 0  

Sabemos que em x , y = ( 0,0 ) a função é zero, mas e para valores diferentes de zero? Fazendo o limite quando x , y → ( 0,0 ) ? Será que é também!

É isso que precisamos saber! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos verificar se

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x 2 + y 2

É zero! Se ela não for igual a zero significa que ela não é contínua nesse ponto e, portanto, não diferenciável, tudo bem?

Substituindo x = y = 0 no limite

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x 2 + y 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação, então precisamos encontrar outro método para calcular esse limite! E o método a ser usado aqui é o do: testar múltiplos caminhos

Ou seja: quando temos que o grau do numerador é igual ou menor ao grau do denominador, podemos fazer uma mudança de variáveis bem simples

y = m x

Assim quando x → 0 o y também irá a zero.

A ideia aqui é quanto a esse m ! Se o valor do limite depender de m , isso vai significar que pode até ser que por um caminho esse limite dê zero, mas não é o único! Existe outros caminhos em que esse limite não é zero, e, portanto, esse limite não existe!

Bora mudar de variável?

Passo 3

Vamos dizer que y = m x , então nosso limite que era assim

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Vai ficar apenas em uma variável, assim

lim x → 0 ⁡ m x 2 x 2 + ( m x ) 2

Podemos simplificar tudo por x 2 e aí temos:

lim x → 0 ⁡ m 1 + m 2 = m 1 + m 2

Um resultado que INDEPENDE de x e depende APENAS de m ! Isso significa que temos infinitos resultados possíveis, e assim nosso limite

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Não existe!

Se o limite não existe, nossa função não é contínua em ( 0,0 ) , e não sendo diferenciável também!

E é isso, espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n ã o   é   d i f e r e n c i á v e l

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = x y ( 1,4 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )