Verifique se a seguinte função é diferenciável em 0,0 :

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,       s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,       s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para determinarmos se a nossa função diferenciável num ponto, a primeira coisa que precisamos fazer é verificar se a nossa função é contínua no ponto que é pedido.

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,       s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,       s e   x , y = ( 0,0 )

Para sabermos se ela é contínua, temos que calcular:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2

No caso do nosso limite, vamos usar aqui o Teorema do Anulamento.

Se liga, o teorema do anulamento consiste:

lim ⁡ f x . g ( x )

Aonde:

lim ⁡ f x = 0

lim ⁡ g x = M → A o n d e   M   f a z   d e l a   u m a   f u n ç ã o   l i m i t a d a

Podemos então afirmar que

lim ⁡ f x . g x = 0

É isso que vamos usar para achar o resultado da nossa questão. Então, vamos lá:

Passo 2

Antes de tudo, vamos separar a nossa função em duas:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 × lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ s e n 1 x 2 + y 2

Vamos primeiro calcular o limite da primeira função:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 = 0

Show, a primeira já satisfez uma parte das regras do Teorema. Agora, precisamos provar que a segunda função é limitada.

No caso da segunda função, reparem que estamos querendo calcular o limite de uma função seno. Importante lembrar aqui os intervalos do valor de s e n o :

- 1 ≤ s e n x ≤ + 1

Ou seja, reparem que não importa o valor de 1 x 2 + y 2 , o valor do seno vai estar sempre naquele intervalo, ou seja, ela é uma função limitada. Então:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 = 0

Ok, mas isso já determina se ela é contínua? Ainda não. Para ela ser contínua, temos que verificar se respeita a seguinte ideia:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 = f ( 0,0 )

Reparem no nosso sistema que:

f 0,0 = 0

Logo, sim, nossa função é contínua.

Passo 3

Ok, já vimos que a nossa função é contínua. E agora? Bom, sabendo que ela é contínua, vamos precisar calcular o seguinte limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y - f 0,0 - f x ( 0,0 ) x - 0 - f y 0,0 y - 0 x , y = 0

Nossa, é um limite imenso né? Mas fica calmo, você verá que boa parte dele nós vamos simplificar.

f x , y = x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 ,       s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,       s e   x , y = ( 0,0 )

Logo de cara, podemos ver que

f 0,0 = 0

E também precisamos lembrar que:

x , y = x 2 + y 2

Substituindo:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y - f x ( 0,0 ) x - 0 - f y 0,0 y - 0 x 2 + y 2 = 0

Agora, precisamos derivar no ponto ( 0,0 ) . Para isso, vamos precisar usar a definição da derivada:

f x ( 0,0 ) = lim x → ( 0,0 ) ⁡ f x , 0 - f ( 0,0 ) x = lim x → ( 0,0 ) ⁡ x 2 s e n 1 x 2 x = lim x → ( 0,0 ) ⁡ x s e n 1 x 2 = 0

f y ( 0,0 ) = lim y → ( 0,0 ) ⁡ f 0 , y - f ( 0,0 ) y = lim y → ( 0,0 ) ⁡ y 2 s e n 1 y 2 y = lim y → ( 0,0 ) ⁡ y s e n 1 y 2 = 0

Opa, mais informações, vamos substituir na nossa formula:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y x 2 + y 2

Substituindo as fórmulas:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y x 2 + y 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2

Passo 4

Show, agora vamos calcular o limite anterior:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2

Aqui nós temos exatamente a mesma situação do Passo 1. O Teorema do Anulamento vai achar o valor desse limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 = 0

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ s e n 1 x 2 + y 2 → L i m i t e   d e   F u n ç ã o   L i m i t a d a

Logo:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 s e n 1 x 2 + y 2 = 0

Como o nosso limite deu zero, podemos concluir que a nossa função é diferenciável no ponto 0,0 .

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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