Determine o conjunto de pontos de R 2 onde f não é diferenciável, sendo

d .   f x , y = cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função aqui

f x , y = cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

E pediu para acharmos o conjunto de pontos em que ela não é diferenciável

Então precisamos relembrar quais os critérios que deixam uma função diferenciável em todo R 2

  1. Ela precisa ser contínua sempre em todos os pontos no R 2
  2. Ela precisa ter derivadas parciais em todo R 2
  3. Essas derivadas parciais precisam ser contínuas em todo R 2

Então precisamos analisar cada um dos itens!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade dessa função

f x , y = cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

Como é um cosseno que é contínuo em todo domínio!

Então até aqui tudo bem.

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada! Começando pela parcial em x

  f x , y = cos ⁡ ( x 2 + y 2 )

∂ f ∂ x = - sin ⁡ x 2 + y 2 .   1 2 x 2 + y 2 . ( 2 x )

Essa derivada é contínua sempre, pois em x = 0 temos ∂ f ∂ x = 0 e não temos problema quando y = 0 . E já sabemos que o seno também é contínuo sempre!

Então tudo bem até agora!

Passo 4

Derivando em relação à y vamos achar algo semelhante

∂ f ∂ y = - sin ⁡ x 2 + y 2 .   1 2 x 2 + y 2 . ( 2 y )

Então realmente temos derivadas contínuas em todo domínio! E podemos afirmar que é de classe C 1

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

é   d e   c l a s s e   C 1

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
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1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = x y ( 1,4 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )