Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Elaboração Própria

Seja a função

f x , y = x 5 y 2 x 8 + y 4 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

  1. Mostre que o lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0 , ao longo de qualquer reta y = m x .
  2. Analise a continuidade da função no ponto ( 0,0 ) .
  3. Analise a diferenciabilidade da função no ponto ( 0,0 ) .

Passo 1

(a)

Basicamente vamos substituir y = m x na expressão da função e calcular o limite, só isso! Inclusive vai ser um limite estilo cálculo 1, teoricamente mais tranquilo de calcular.

Então vamos lá:

lim x → 0 ⁡ f x , m x = l i m x → 0 x 5 m x 2 x 8 + m 4 x 4

Fatorando pelo termo de maior grau do numerador (lembra disso? haha), temos:

l i m x → 0 m x 6 x 6 2 x 2 + m 4 x 2 = l i m x → 0 m 2 x 2 + m 4 x 2

E

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + m 4 x 2 = + ∞  

Logo

l i m x → 0 m 2 x 2 + m 4 x 2 = 0

Portanto, ao longo de qualquer reta y = m x temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Agora ele quer saber se a função é contínua na origem. Ou seja, se pra qualquer caminho que a gente usar pra calcular o limite vamos ter

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Acabamos de provar isso pelos caminhos do tipo y = m x .

Então partiu!

A gente pode tentar aplicar o teorema do sanduíche. Vamos dar uma olhada na função:

f x , y = x 5 y 2 x 8 + y 4

Repare que não temos nenhum termos do tipo

x 2 x 2 + y 2 ,   x x + y     o u   x x 2 + y 2

nem funções trigonométricas. Também podemos ver que o grau do numerados (6) é menor que o grau do denominador (8).

Então não tá muito promissor pro teorema do sanduba. Vai ser mais fácil tentar provar que o limite não existe!

Passo 3

Já vimos que fazendo y = m x tá tudo ok com o limite, então vamos tentar por outros caminhos!

Digamos y = m x ² . Vamos ter

lim x → 0 ⁡ f x , m x 2 = l i m x → 0 x 5 m x 2 2 x 8 + m 4 x 8 = lim x → 0 ⁡ x 7 m x 7 ( 2 x + m 4 x )

Simplificando isso aí:

lim x → 0 ⁡ m 2 x + m 4 x = ∞

Ou seja, esse limite não existe! Porque o denominador vai a zero mais rápido que o numerador, e aí essa bagaça toda vai pro infinito.

Assim, como por um caminho o limite existe e por outro ele não existe, então na real ele não pode existir né? Porque pra existir ele precisava não depender do caminho.

Portanto, a função não é contínua na origem!

Passo 4

(c)

Pra essa questão não vai ter muito mistério não! Queremos saber se f é diferenciável na origem, mas já vimos que ela não é contínua nesse ponto. E temos, para um função f ( x , y ) em algum ponto:

n ã o   c o n t í n u a   ⇒     n ã o   d i f e r e n c i á v e l

Toda função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto, então a f não sendo contínua na origem, acabou o problema: ela não também não é diferenciável na origem!

Resposta

(a)

lim x → 0 ⁡ f x , m x = l i m x → 0 x 5 m x 2 x 8 + m 4 x 4 = 0

(b) A função não é contínua na origem.

(c) A função não é diferenciável na origem.

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