Seja f x , y = x 2 + y 2 2 3 . Mostre que:

f x x , y = 4 x 3 x 2 + y 2 1 3 , s e   x , y ≠ ( 0,0 )   0 , s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Bom... queremos ver se função é derivável em x, e além disso se ela é continua em todos os pontos. Bora lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Seja f ( x ) :

f x = x 2 + y 2 2 3

Derivando usando a regra da cadeia:

f ' x = 2 x x 2 + y 2 2 3 - 1   2 3

f ' x = 4 x 3 x 2 + y 2 1 3

Passo 3

Agora vamos ver se ela é continua. Assim:

Vemos que ela existe pra todo valor de x e y diferentes de 0, o problema é analisar pra x e y iguais a zero.

Assim, vamos ver para x e y tendendo a 0:

lim x , y → 0,0 ⁡ 4 x 3 x 2 + y 2 1 3

Para analisar se um limite duplo existe num ponto, devemos aplicar um após o outro com o valor do seu limite.

Assim, para x -> 0:

lim x → 0 ⁡ 4 x 3 x 2 + y 2 1 3 = 0

E para y -> 0:

lim y → 0 ⁡ 4 x 3 x 2 + y 2 1 3 = 4 3 x 1 3

Com x =0 também e 0. Logo o limite e, x e y tendendo a 0 existe e é 0.

Logo:

f x x , y = 0 ,     s e   x , y = 0,0             c . q . d  

E provamos.

Resposta

A resolução está no passo-a-passo.

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