Seja f x , y = x y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

c.   f é diferenciável em ( 0,0 ) ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função de duas variáveis

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

E perguntou se é diferenciável.

Mas como decifrar isso?

Vamos por partes! Para uma função ser diferenciável ela primeiro precisa ser contínua! Ela também precisa ter derivadas parciais existentes em todos em pontos do domínio. E essas duas condições nós já analisamos nos itens anteriores!

E tem mais um detalhe! Ela além desses dois itens, precisa ter a função erro igual a zero! Mas vamos por partes!

Então a ideia é resgatar esses resultados e verificar se ela é diferenciável!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar resgatando dos exercícios anteriores, temos que as parciais existem e valem

∂ f ∂ x = 0

∂ f ∂ y = 0

Beleza? Até aqui tudo ok. Mas esbarramos no problema da continuidade! Esse limite aqui

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 2 x 2 + y 4

Não existe! Então ela não é contínua! E portanto, não é diferenciável!

Resposta

n ã o

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
1. Verifique que a função dada é diferenciável.a) f x , y = e x - y 2
1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = x y ( 1,4 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = e - x y cos ⁡ y ( π , 0 )