Determine o conjunto de pontos de R 2 onde f não é diferenciável, sendo

b .   f x , y = x | y |

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função aqui

f x , y = x y

E pediu para acharmos o conjunto de pontos em que ela não é diferenciável

Então precisamos relembrar quais os critérios que deixam uma função diferenciável em todo R 2

  1. Ela precisa ser contínua sempre em todos os pontos no R 2
  2. Ela precisa ter derivadas parciais em todo R 2
  3. Essas derivadas parciais precisam ser contínuas em todo R 2

Então precisamos analisar cada um dos itens!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade dessa função

f x , y = x | y |

Como temos um produto de duas funções contínuas, nossa f também é.

Então até aqui tudo bem.

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada! Começando pela parcial em x

  f x , y = x | y |

∂ f ∂ x = | y |

Essa derivada é contínua em todos os reais, então aqui também tudo bem

Passo 4

Derivando em relação à y precisamos dividir em 0 + e 0 - , pois a função módulo troca de cara!

∂ f ∂ y + = x . 1 = x

∂ f ∂ y - = x . - 1 = - x

Então vemos que a derivada não é contínua em torno do y = 0 ! E o x ? Esse pode ser qualquer valor!

Sendo assim, f não é diferenciável nos pontos da forma ( a , 0 ) com a ≠ 0

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

( a , 0 )

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