Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Seja

f x , y = x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

Considere as afirmativas:

  1. f é contínua em R 2
  2. f é contínua em apenas R 2 - 0,0
  3. lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 0
  4. f é diferenciável em R 2 - 0,0

Marque a alternativa correta:

  1. Apemas a afirmativa I V é verdadeira
  2. Apenas as afirmativas I e I I I são verdadeiras
  3. Todas as afirmativas são falsas
  4. Apenas as afirmativas I I e I I I são verdadeiras
  5. Apenas a afirmativa I I é falsa

Passo 1

Vamos começar verificando a continuidade da nossa função.

Para x , y ≠ 0,0 , temos que ela é a composição de funções contínuas, que é a função cosseno e a função polinomial. Então nesse intervalo tá sussa: nossa função é contínua.

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Passo 2

Agora precisamos analisar a continuidade para x , y = ( 0,0 ) .

Para isso, temos que calcular

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y )

E ver se ele dá zero, que é a definição da função nesse ponto.

Vamos lá então. Como temos uma função cosseno, é interessante usar o teorema do sanduíche, pois já sabemos de cara que a função cosseno é limitada.

- 1 ≤ cos ⁡ x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 3

Agora vamos olhar o resto da função:

x 4 x 2 + y 2

Podemos dizer que

x 2 ≤ x 2 + y 2

1 x 2 ≥ 1 x 2 + y 2

Porque quando eu divido 1 por algo maior, obtenho um valor menor.

Agora, multiplocando tudo por x 4 :

x 4 x 2 ≥ x 4 x 2 + y 2

Assim

x 2 ≥ x 4 x 2 + y 2

E, além disso,

0 ≤ x 4 x 2 + y 2 ≤ x 2

Passo 4

Multiplicando tudo por cos ⁡ x 2 + y 2 :

0 ≤ x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 cos ⁡ x 2 + y 2

Agora é só usar o teorema do sanduíche para calcular os limites:

0 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 + y 2

Para esse ultimo limite aí, temos uma função limitada, que é o cosseno, vezes uma função cujo limite vai pra zero. Então, pelo teorema do anulamento, esse limite vale zero. Assim

0 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≤ 0

Então, pelo teorema do sanduíche,

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 0

E zero é justamente o valor da função quando x , y = ( 0,0 ) . Desse modo, nossa função também é continua em ( 0,0 ) .

Passo 5

Beleza, já analisamos a continuidade da função e com isso já matamos todas as afirmações que envolviam continuidade. E com isso, sabemos que a afirmativa ( I I ) é falsa. Mas ainda falta a afirmação ( I V ) sobre a diferenciabilidade da função.

Bom, se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto! Logo, basta vermos se as derivadas parciais de f atendem essas exigências para o R 2 - 0,0 . O que é a mesma coisa que testar a função abaixo:

x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Passo 6

  ∂ ∂ x x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 4 x 3 cos ⁡ x 2 + y 2 - 2 x 5 sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 x x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 =

= 4 x 3 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 x 5 sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 x 5 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Então essa derivada existe e é perfeitamente contínua em R 2 - 0,0 já que ela é formada por várias funções contínuas! Vamos ver a outra:

∂ ∂ y x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = - 2 y x 4 sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 y x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 =

= - 2 y x 4 sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 y x 4 cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Novamente, a derivada existe e é contínua! Então a I V é verdadeira! A nossa função é diferenciável em R 2 - 0,0 .

Repare que a alternativa II só tá errada porque ela fala apenas no R 2 - 0,0 . Mas na verdade, se fizermos as derivadas parciais pela definição, veremos que a função também é diferenciável em ( 0,0 ) . Por isso a IV tá certa e a II errada.

Ou seja, a resposta tem que ser a Letra e !

Resposta

L e t r a   e  

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