Sejam f : R 2 → R uma função e x 0 , y 0 ∈ R 2 . Assinale, dentre as afirmações abaixo, precisamente aquelas que são verdadeiras.

Escolha uma ou mais:

a ) Se f não admite derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) , então f não é diferenciável em ( x 0 , y 0 ) .

b ) Se f não é diferenciável em ( x 0 , y 0 ) , então f não admite derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) .

c ) Se f não é diferenciável em ( x 0 , y 0 ) , então as derivadas parciais de f não são contínuas em ( x 0 , y 0 ) .

d ) Se f admite derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) , então f é diferenciável em ( x 0 , y 0 ) .

e ) Se f não é contínua em ( x 0 , y 0 ) , então f não admite derivadas parciais em ( x 0 , y 0 ) .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Neste enunciado é definida uma função f que leva um par coordenado de número para os reais. Ele estabelece um ponto ( x 0 , y 0 ) de forma que possamos analisar a continuidade de f , diferenciabilidade de f e existência das derivadas parciais. Para isso vamos lembrar alguns teoremas

1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua neste ponto;

2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;

3. se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

As recíprocas não são verdades, e podemos encontrar facilmente contra exemplos! Vamos tentar usar isso para analisar nossas alternativas! Belezinha?

Passo 2

Primeiro a alternativa a ) . Isso é verdade, note pelo teorema 3 que ambas as derivadas parciais devem existir para garantir a diferenciabilidade da função, a alternativa b ) no entanto é uma recíproca falsa, note que não garantir os teoremas 1 e 2 é o suficiente para que uma função não seja diferenciável, imagine uma função descontínua em ( x 0 , y 0 ) , ela não é diferenciável, no entanto, ainda é possível avaliar as derivadas parciais da mesma. Vamos avaliar as outras alternativas agora!

Passo 3

A alternativa c ) , temos que se as derivadas parciais são contínuas, e, portanto, existem neste ponto, pelo teorema 3 garantimos que a função é diferenciável. Ou seja, se as derivadas parciais não são contínuas, a função não é diferenciável, tornando esta alternativa verdadeira. No entanto, se as derivadas parciais existem, não necessariamente a função é diferenciável, uma vez que também é necessário que as mesmas sejam contínuas, tornando a alternativa d ) falsa. Falta apenas mais uma para se analisar!

Passo 4

Para a alternativa e ) note que a recíproca do teorema 1 é falsa, então uma função descontínua pode ser diferenciável, e se ela for diferenciável, pelo teorema 2 , ela admite derivadas parciais! Portanto, a alternativa e ) é falsa.

Sendo assim, temos que apenas as alternativas a ) e c ) como verdadeiras, e o restante é falso. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Alternativa a ) e c ) são verdadeiras.

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