Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Derivadas parciais e vetor gradiente

Considere as seguintes afirmações?

  1. Se f x , y é continua no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  2. Se f x , y é diferenciável no ponto a , b então f x , y é continua no ponto a , b
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  1. i )   F             i i )   V             i i i )   F
  2. i )   V             i i )   F             i i i )   F
  3. i )   V             i i )   F             i i i )   V
  4. i )   F             i i )   V             i i i )   V
  5. i )   F             i i )   F             i i i )   F

Passo 1

Lembra os teoremas de diferenciabilidade que vimos na teoria?

“São três teoremas que você precisa saber:

  1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
  2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

Observação: os dois primeiros teoremas são necessários para que a função seja diferenciável. A recíproca do terceiro não é verdadeira. Ou seja, uma função pode ser diferenciável, mas não ter derivadas contínuas.”

A primeira afirmação é falsa, o fato da função ser continua não que dizer que ela é diferenciável. A terceira também é falsa como vimos nos três teoremas.

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Resposta

Alternativa (a)

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