(2) Seja

f x , y = sin ⁡ x y x ,     s e   x ≠ 0 y ,     s e   x = 0

d) f é derivável em 0,0 ?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que dizer se a função f definida por partes é derivável em 0,0 .

Como fazemos isso? 😬

Para uma função ser considerada derivável, ela deve cumprir alguns requisitos...

Primeiro de tudo ela deve ser contínua, ou seja, não pode haver nenhuma indeterminação em seu domínio e também a função não pode tender a ± ∞ em um ponto P .

Bora começar! 😉

Passo 2

Para f ser contínua, as partes de f tem que coincidirem quando x tende a 0 .

Olhando para as partes separadamente, vemos que sin ⁡ x y x é constante para todo x ≠ 0 , que é justamente o intervalo em que f assume esse valor, já quando x = 0 , a função y também é contínua em todo o seu intervalo, logo a única possível descontinuidade é na mudança de comportamento da função quando x = 0 .

Pra isso temos que verificar se ambas as partes tendem ao mesmo resultado em x = 0 , portanto temos que aplicar o limite de sin ⁡ x y x para x → 0 e verificar se é igual a y .

De maneira mais direta, temos que verificar se

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x y x = y

Se esse resultado for verdadeiro, f é contínua em todo seu domínio.

Se substituirmos x = 0 diretamente, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então pra contornar essa situação, vamos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador do limite.

lim x → 0 ⁡ ∂ sin ⁡ x y ∂ x ∂ x ∂ x = y

Pela regra da cadeia no numerador e pelo método de derivação polinomial no denominador, temos

lim x → 0 ⁡ y cos ⁡ x y 1 = y

lim x → 0 ⁡ y cos ⁡ x y = y

Agora sim fazendo x = 0 , chegamos em

lim x → 0 ⁡ y cos ⁡ x y = y cos ⁡ 0 = y

Portanto a igualdade foi satisfeita, logo f é continua em todo x , y ∈ R 2 , logo, como os limites coincidiram também é derivável.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

É derivável.

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