Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2     ,     x , y ≠ ( 0,0 ) 0     ,     x , y = ( 0,0 )

  1. f é contínua em ( 0,0 ) ? Justifique.
  2. Calcule ∂ f ∂ x ( 0,0 ) e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) .
  3. Há plano tangente a z = f ( x , y ) em ( 0,0 , 0 ) ? Justifique.

Passo 1

a )

Vamos lá... O que uma função precisa para ser contínua? Ela precisa que o limite dela quando ela tende a um ponto seja exatamente igual ao valor dela nesse ponto! Já sabemos o valor de f 0,0 , que, pelo enunciado, é 0 . Agora vamos calcular o seguinte limite:

l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2

E veremos se ele é igual ou não ao valor da função nesse ponto. Se não for, então a função não é contínua. Se for, teremos que usar o teorema do sanduíche para ver se o limite realmente existe e é igual a f 0,0 .

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Passo 2

Vamos tentar alguns caminhos?

Como temos uma soma no denominador, então optaremos primeiramente por um caminho que percorra ou o eixo x ou o eixo y . Por exemplo, pela reta y = 0 e o limite fica:

l i m x , y → 0,0 x . 0 x 2 + 0 2 = 0 x 2 = 0

Aí está, o limite encontrado foi 0 !

Lembrando que isso não quer dizer que o limite exista e seja de fato igual a 0 . Mesmo que no próximo passo encontremos 0 , isso não quer dizer que o limite exista! Se por acaso isso acontecer, parta para o Teorema do Sanduiche ;)

Passo 3

Beleza, agora tentemos outro caminho. Como o grau do denominador é 2 e no numerador temos um produto de variáveis de grau 1 , é uma boa ideia tentar manter o mesmo grau em cima e embaixo. O caminho que atende bem a isso é a reta y = x . O limite fica:

l i m x , y → 0,0 x . x x 2 + x 2 = x 2 2 x 2 = 1 2

Opa! Deu diferente que o anterior! Mano, isso é realmente ótimo, porque economizamos o tempo que seria gasto provando a possível existência desse limite pelo teorema do sanduíche...

Logo, a função não é contínua por que o limite quando ela tende à origem não existe ;)

Passo 4

b )

Vamos fazer essas derivadas parciais? Não podemos simplesmente derivar 0 , que é o valor que ela assume na origem, certo? Então vamos apelar para a definição da derivada parcial!

Em relação a x fica:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

= lim x → 0 ⁡ x . 0 x 2 + 0 2 - 0 x = lim x → 0 ⁡ 0 x 2 x = l i m x → 0 0 x 3 = 0

E é isso, a derivada parcial em relação a x é 0 :)

Passo 5

Em relação a y fica:

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

= lim y → 0 ⁡ 0 . y 0 2 + y 2 - 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 y 2 y = l i m y → 0 0 y 3 = 0

E aí está, a derivada em relação a y é 0 !

Passo 6

c )

Como a função não é contínua na origem, ela já não é diferenciável. Além disso, se você olhar para as derivadas que encontramos, a origem não é um ponto na qual ela é contínua, por que o denominador da fração seria 0 . Dessa forma, o gráfico da nossa função não pode ter plano tangente na origem.

Resposta

  1. A função não é contínua por que o limite quando ela tende à origem não existe
  2. δ f δ x 0,0 = δ f δ y 0,0 = 0
  3. Não, por que a função não é diferenciável, nem contínua na origem.

Resposta

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