Considere a função

f x , y =   x 4 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                                             s e   x , y = ( 0,0 )

b )   Decida se f é diferenciável em ( 0,0 ) .

Passo 1

Olá gente bonita, tudo certinho?

Nessa questão temos uma função de duas variáveis dada por:

f x , y =   x 4 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                                             s e   x , y = ( 0,0 )

O enunciado nos pede para verificar se essa função é diferenciável em ( 0,0 ) .

Vocês sabem como podemos verificar isso?

Então gente, existe mais de uma forma de verificarmos a diferenciabilidade.

Mas, quando a função é definida por partes, acho que é interessante utilizarmos o teorema mais geral para diferenciabilidade, que basicamente diz o seguinte:

Pra uma função f ( x , y ) ser diferenciável em ( x 0 , y 0 ) é necessário e suficiente que:

1 )   Existam as derivadas parciais, ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y , no ponto ( x 0 , y 0 )

2 ) O limite abaixo seja igual a zero:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 - ∂ f x 0 , y 0 ∂ x ⋅ x - x 0 - ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ⋅ y - y 0 x , y - x 0 , y 0 = 0

Ou seja, essas duas condições precisam ser respeitadas simultaneamente. Se uma delas não for verdadeira, a função não é diferenciável naquele ponto. Beleza?

Vamos então verificar cada uma dessas condições pra descobrir se f ( x , y ) é diferenciável em ( 0,0 ) .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, como vimos no passo anterior existem duas condições que precisam ser respeitadas pra função ser diferenciável em um dado ponto.

A primeira condição é que devem existir as derivadas parciais no ponto ( x 0 , y 0 ) . Como aqui estamos analisando a diferenciabilidade de f em ( 0,0 ) , precisa existir:

∂ f ∂ x ( 0,0 )

E:

∂ f ∂ y ( 0,0 )

Mas, como vimos no item a ) dessa mesma questão essas derivadas parciais existem e valem:

∂ f 0,0 ∂ x = 0 ∂ f 0,0 ∂ y = 0

Portanto, a 1 ° condição foi satisfeita.

Passo 3

A segunda condição envolve um limite bem grande que precisa ser nulo. Ele é dado por:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 - ∂ f x 0 , y 0 ∂ x ⋅ x - x 0 - ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ⋅ y - y 0 x , y - x 0 , y 0 = 0

Sei que assusta um pouco, mas não é tão ruim quanto parece.

Pensa comigo:

f 0,0 = 0 ∂ f 0,0 ∂ x = 0 ∂ f 0,0 ∂ y = 0

Substituindo essas informações no nosso limite, ficamos com:

lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ f x , y x , y

Esse f ( x , y ) que aparece é quando x , y → ( 0,0 ) , ou seja não valem exatamente ( 0,0 ) . Assim:

f x , y = x 4 x 2 + y 2

Daí, aplicando no limite, vamos ter:

lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ x 4 x 2 + y 2 x 2 + y 2

= lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ x 4 x 2 + y 2 3 2

Massa! Precisamos resolver esse limite e verificar se ele vale zero. Beleza? Vamo nessa!

Passo 4

Como normalmente fazemos no cálculo de limite, vamos começar substituindo os valores que ( x , y ) estão tendendo na nossa expressão. Logo:

lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ x 4 x 2 + y 2 3 2 = 0 0

Ou seja, uma indeterminação matemática. Vamos precisar pensar um pouco mais!

Olha, nós sabemos que:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

Podemos elevar toda a expressão ao quadrado, assim temos:

0 ≤ x 4 ≤ x 2 + y 2 2

Podemos também dividir toda a expressão por x 2 + y 2 2 , que claramente é positivo e portanto mantém os sinais de desigualdade como estão. Ficamos com:

0 ≤ x 4 x 2 + y 2 2 ≤ 1

Daí, podemos também multiplicar toda a expressão por x 2 + y 2 , pois esse termo também é claramente positivo e mantém o sinal da desigualdade. Logo:

0 ≤ x 4 x 2 + y 2 3 2 ≤ x 2 + y 2

Massa! Daí, se aplicarmos o limite em todos os termos dessa desigualdade quando x , y → ( 0,0 ) , vamos ter:

0 ≤ lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ x 4 x 2 + y 2 3 2 ≤ lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ x 2 + y 2

Mas:

lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ x 2 + y 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Logo:

0 ≤ lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ x 4 x 2 + y 2 3 2 ≤ 0

O que nos permite concluir que:

lim x → 0 ,  y → 0 ⁡ x 4 x 2 + y 2 3 2 = 0

Sendo assim, aquele limite gigante realmente é nulo. E, como a 2 ° condição é satisfeita, podemos afirmar que f ( x , y ) é diferenciável!

Muito bom galera, terminamos 😊

Até a próxima!!

Resposta

É diferenciável.

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