Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Calculo 2 – UFPE – 1° EE

Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. Calcule ∂ f / ∂ x e   ∂ f / ∂ y
  2. f é diferenciável? Justifique.

Passo 1

Para os pontos x , y ≠ 0,0 , as derivadas parciais da nossa função f x , y são funções contínuas. Portanto, a nossa função é diferenciável para estes pontos.

O problema aqui é o ponto 0,0 . Para que f seja uma função diferenciável, ela também deve ser no ponto 0,0 . E para checarmos isto, vamos analisar a nossa própria função f . Será se ela é continua no ponto 0,0 ?

Para que ela seja contínua, o seu limite deve existir. Vamos checar o limite testando dois caminhos. Primeiro, para x = 0 , temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ 0 ⋅ y 0 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora, quando checamos pelo caminho x = y , temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ y ⋅ y y 2 + y 2 = lim y → 0 ⁡ 1 2 = 1 2

Como caminhos diferentes nos deram limites diferentes, sabemos então que o limite da nossa função quando x , y → 0,0 não existe. Logo, a função f não é contínua na origem.

E para a função ser diferenciável na origem, ela deve ser contínua. Portanto, a função f não é diferenciável na origem!

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Resposta

A função f não é diferenciável na origem.

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