Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Cálculo 2 UFRJ, P2 2014.1, questão 2

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f x , y é continua no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  2. Se f x , y é diferenciável no ponto a , b então f x , y é continua no ponto a , b
  3. Se f x e f y existem no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  1. i )   F             i i )   V             i i i )   F
  2. i )   V             i i )   F             i i i )   F
  3. i )   V             i i )   F             i i i )   V
  4. i )   F             i i )   V             i i i )   V
  5. i )   F             i i )   F             i i i )   F

Passo 1

i)

Se uma função é diferenciável num certo ponto, então ela é contínua nesse ponto. A recíproca é falsa. Portanto, a afirmativa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

ii)

Mesma justificativa: diferenciabilidade implica continuidade. Afirmativa verdadeira.

Passo 3

iii)

Não basta que as derivadas parciais existam: elas também têm que ser contínuas no ponto. Então a afirmativa é falsa.

Resposta

Alternativa (a)

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