Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade

Unicamp, Cálculo 2, 2019.2, P1, Questão 1.

Seja

f x , y = x 2 - x y x 2 + y 2           ,       x , y ≠ 0,0 0           ,           x , y = ( 0,0 )

1. f é contínua em ( 0,0 ) ? E em ( 1,1 ) ? Justifique.

2. Calcule, se existir, f x 0,0 e f y 0,0 .

Passo 1

(a) Então pessoal, esse problema é presença garantida nas provas de cálculo 2. Vamos ver como a gente pode resolver.

Direto ao ponto: como a gente pode mostrar que essa função é contínua em um ponto a , b ? Se essa condição aqui for verdadeira:

lim x , y → a , b ⁡ f x , y = f a , b

Então a função é contínua. Ou seja, se o limite da função tendendo ao ponto for igual ao valor da função naquele ponto, então ela é contínua ali.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No nosso caso, queremos considerar o ponto 0,0 . O valor da função nesse ponto é:

f 0,0 = 0

Isso já é dado na definição da função! Agora vamos calcular o limite quando a função tende a esse ponto, ou seja, x , y → 0,0 , mas nunca sendo exatamente igual a ( 0,0 ) .

Então o limite fica assim:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - x y x 2 + y 2

Geralmente, quando a gente trabalha com limites de duas variáveis, uma boa forma de resolver é mostrar que o limite não existe.

Uma forma de fazer isso é provando que, tomando caminhos diferentes até o ponto ( 0,0 ) , o limite tem valores diferentes.

Passo 3

Por exemplo, a gente pode chegar até o ponto 0,0 passando por uma reta y = x :

Nesse caso, os pontos da reta sempre podem ser escritos na forma x , y = t , t .

Substituindo isso no limite:

l i m t , t → 0,0 x 2 - x y x 2 + y 2 = lim t , t → 0,0 ⁡ t 2 - t t t 2 + t 2 = lim t , t → 0,0 ⁡ 0 2 t 2 = 0

Beleza, então tomando esse caminho o limite dá zero.

Agora vamos chegar até o ponto 0,0 passando pelo eixo horizontal:

Nesse caso os pontos da reta sempre podem ser escritos como x , y = t , 0 :

l i m t , t → 0,0 x 2 - x y x 2 + y 2 = lim t , t → 0,0 ⁡ t 2 - t 0 t 2 + 0 = lim t , t → 0,0 ⁡ t 2 t 2 = 1

Dessa vez o limite deu 1 ! Isso quer dizer que o limite não existe nesse ponto, e então essa condição aqui:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0,0

Não pode ser satisfeita! E a função não é contínua no ponto ( 0,0 ) .

Passo 4

Ok, mas e o ponto x , y = ( 1,1 ) ? De novo, se ela for contínua nesse ponto, vai satisfazer essa igualdade aqui:

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = f 1,1

O valor da função nesse ponto é:

f 1,1 = 1 2 - ( 1 ) ( 1 ) 1 2 + 1 2 = 0

E agora vamos calcular o limite:

lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 - x y x 2 + y 2

Aqui dá pra substituir direto sem problema nenhum!

lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 - x y x 2 + y 2 = 1 2 - ( 1 ) ( 1 ) 1 2 + 1 2 = 0

Beleza, então a condição foi satisfeita!

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = f 1,1 = 0

E então a função é contínua no ponto 1,1 .

Passo 5

(b) Ok, agora vamos calcular f x 0,0 e f y 0,0 . Antes de começarmos a calcular, importante lembrarmos que teremos que derivar a nossa função pela definição! “Mas por quê?” Bom, se a gente for reparar no nosso enunciado, a nossa função assume valor igual a 0 quando x , y = ( 0,0 ) , e a gente não pode simplesmente derivar o 0.

Se você não lembra de como fazer a derivada pela definição, fica tranquilo que eu vou te mostrar as fórmulas e como calcular:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = l i m x → x 0 f x , y 0 - f ( x 0 , y 0 ) x -   x 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = l i m y → y 0 f x 0 , y - f ( x 0 , y 0 ) y -   y 0

Passo 6

Então vamos la, vamos começar pela f x 0,0 :

f x 0,0 =   ∂ f ∂ x 0 , 0 = l i m x → 0 f x , 0 - f ( 0 , 0 ) x -   0

l i m x → 0 f x , 0 - f ( 0,0 ) x -   0 =   l i m x → 0 x 2 - ( x ) ( 0 ) x 2 + 0 2 - 0 x =   l i m x → 0 x 2 x 2 - 0 x =   l i m x → 0 1 x    

Ok, chegamos numa forma bem mais simples de calcular em comparação com aquela que começamos né? E o que faremos agora? Bom, você concorda comigo que x pode ser aproximar de 0 tanto pela esquerda ( x < 0 ) quanto pela direita x > 0 ?

O que isso nos lembra? Limites laterais la do nosso querido Cálculo 1! Então, vamos la:

l i m x → 0 - 1 x =   1 0 - =   - ∞  

l i m x → 0 + 1 x =   1 0 + =   + ∞  

Opa, o que temos aqui? Limites laterais diferentes, ou seja, o nosso limite não existe!

Com isso, podemos concluir que f x 0,0 não existe!

Passo 7

Show, agora vamos calcular f y 0,0 :

f y 0,0 =   ∂ f ∂ y 0,0 = l i m y → 0 f 0 , y - f ( 0,0 ) y -   0

l i m y → 0 f 0 , y - f ( 0,0 ) y -   0 =   l i m y → 0 0 2 - ( 0 ) ( y ) 0 2 + y 2 - 0 y =   l i m y → 0 0 y 2 - 0 y =   l i m y → 0 0 y   = 0

Opa, conseguimos calcular o nosso limite e encontramos um valor para ele.

Com isso, podemos concluir que f y 0,0 = 0.

Resposta

1. A função não é contínua em f 0,0 , pois o seu limite tendendo a esse ponto não existe. A função é contínua em f 1,1 , pois lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = f 1,1   .

2. f x 0,0 não existe.

f y 0,0 = 0.

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