(b) Encontre uma solução para o problema de valor inicial:

e y y ' = 1 + e 2 y

y 0 = 0

Passo 1

Olha só, como não aparece t na EDO, conseguimos isolar tudo que é função de y de um lado e tudo que é função de t de outro. Portanto, vamos ter aqui uma EDO separável.

Show, para começar, escrevemos:

y ' = d y d t

Assim: e y y ' = 1 + e 2 y

e y ⋅ d y d t = 1 + e 2 y

Passo 2

Agora, vamos separar tudo que é função de y de um lado e tudo que é função de t de outro:

e y ⋅ d y d t = 1 + e 2 y

e y 1 + e 2 y d y = d t

Passo 3

E então integramos: ∫ e y 1 + e 2 y d y = ∫ d t

Vamos ter:

∫ d t = t + C 1

Agora, o problema vai ser:

∫ e y 1 + e 2 y d y

Parece interessante usar substituição aqui. Vamos fazer: u = e y

Assim, vamos ter: u ' = e y d y

E então: ∫ e y 1 + e 2 y d y = ∫ e y 1 + e y 2 d y = ∫ d u 1 + u 2 = arctg ⁡ u + C 2

Retornando para y :

arctg ⁡ u + C 2 = arctg ⁡ e y + C 2

E agora a relação das integrais vai ficar:

∫ e y 1 + e 2 y d y = ∫ d t

arctg ⁡ e y + C 2 = t + C 1

Passo 4

Assim, vamos ter:

arctg ⁡ e y = t + C 1 - C 2

Para deixar bonito, definimos C ≔ C 1 - C 2 :   arctg ⁡ e y = t + C

Como o problema nos deu o valor inicial, podemos determinar essa constante. Temos: y 0 = 0

Então, substituindo:   arctg ⁡ e 0 = 0 + C

  arctg ⁡ 1 = C

Agora, jovem, qual ângulo cuja tangente dá 1?

45 º = π / 4 . Então, vamos ter: C = π 4

Passo 5

Já avançamos bastante, mas vamos tentar deixar o y escrito explicitamente. Temos: arctg ⁡ e y = t + π 4

E então aplicamos a inversa do arco tangente, a tangente: e y = tg ⁡ t + C 1 - C 2

Agora, aplicamos a inversa da exponencial, ele mesmo, o logaritmo:

y = ln ⁡ tg ⁡ t + π 4

Legal?

Passo 6

Mas ainda não acabou! O problema pediu para gente determinar o domínio dessa solução. Para isso, vamos analisar a função com calma.

y = ln ⁡ tg ⁡ t + π 4

OK, precisamos sempre que o argumento do logaritmo seja positivo, então temos que: tg ⁡ t + π 4 > 0

Ou seja, a tangente tem que ser sempre positiva. O domínio da função tangente é o intervalo - π / 2 ,     π / 2 . Além disso: tg ⁡ x = cos ⁡ x sen ⁡ x

E o cos ⁡ x é negativo em - π / 2 ,   0 , dando valor negativo para a tangente neste intervalo. Portanto, vamos ter que o argumento da tangente tem que estar no intervalo 0 , π / 2 .

Legal, assim vamos ter:

0 < t + π 4 < π 2

Portanto: - π 4 < t < π 4

E esse será nosso domínio!

Resposta

y = ln ⁡ tg ⁡ t + π 4

- π 4 < t < π 4

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