3.6) Uma barra de comprimento L está orientada em direção perpendicular a um fio longo

no qual corre uma corrente I . A extremidade da barra mais próxima ao fio está a uma

distância d do fio e move-se com velocidade v paralela ao fio (ver figura). Calcule a diferença

de potencial entre as extremidades da barra.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Esse problema é bem interessante! Nele temos um fio longo que passa uma corrente I e a uma distância d do fio, há uma barra perpendicular ao fio de comprimento L e que possui velocidade v e se movimenta paralelamente ao fio.

Nosso objetivo é obter a f e m nas extremidades da barra.

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Bom... quando falamos de f e m pensamos direto na lei de Faraday.

Pela lei de Faraday, sabemos que f e m = - ∂ ϕ ∂ t = ∇ → × E → , e pelas características da relação entre a magnetostática e a eletrostática, temos que

v = E B → E = v B

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Substituindo na lei de Faraday, vamos obter que

f e m = ∇ → × v B → = v B

Porém, a mágica desse problema é que B não é constante em toda a barra pois sabemos que ao se distanciar de um fio, a intensidade do campo magnético B diminui.

Então vamos ter que obter qual é esse B em função da distância r do fio e aqui entra a lei de Ampere que diz que a integral fechada de B resulta na corrente envolvida I dessa integral, ou seja

I e n v = ∮ B μ 0 d l

Fazendo uma integral de linha fechada circular de raio r , temos que a integral de d l será o comprimento dessa circunferência, ou seja

I e n v = B μ 0 ∮ d A = B μ 0 2 π r

Isolando B ...

B = μ 0 I 2 π r

Legal, né? 👀

Passo 3

Substituindo esse resultado de B na lei de Faraday para a barra...

f e m = v μ 0 I 2 π r

Porém, como B não é constante em toda a barra, esse valor de f e m é apenas um valor infinitesimal de uma contribuição de um intervalo de raio pequeno.

d f e m d r = v μ 0 I 2 π r

d f e m = μ 0 v I 2 π r d r

Integrando nos dois lados...

∫ d f e m = ∫ μ 0 v I 2 π r d r

f e m = μ 0 v I 2 π ∫ 1 r d r

Como a barra está a uma distância d e possui comprimento L , então definimos essa integral nesse intervalo

f e m = μ 0 v I 2 π ∫ d L + d 1 r d r

f e m = μ 0 v I 2 π ln ⁡ r d L + d

f e m = μ 0 v I 2 π ln ⁡ L + d - ln ⁡ d

f e m = μ 0 v I 2 π ln ⁡ L + d d

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f e m = μ 0 v I 2 π ln ⁡ L + d d

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