2.9) Um cilindro fino de comprimento L gira com frequência angular ω em torno de um eixo

transversal que atravessa o ponto médio entre as suas extremidades. O cilindro é feito de

material isolante e possui uma densidade linear de carga λ uniformemente distribuída ao

longo de sua extensão. Calcule o momento de dipolo magnético gerado pela rotação.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos um cilindro fino de comprimento L que gira a uma velocidade ω através de seu eixo de rotação que passa no centro do cilindro, perpendicularmente ao comprimento L .

Nosso objetivo é obter o momento de dipolo magnético gerado pela rotação do cilindro.

Como podemos fazer isso? 🤔

O momento dipolar magnético m é uma grandeza que quantifica a orientação e intensidade do campo magnético gerado por um objeto magnético. O momento dipolar é dado pelo produto entre a corrente elétrica I e a área A do circuito que gera o campo magnético.

m = I A

Esse momento aponta para o vetor normal à área.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

O fato da barra ser isolante, quer dizer que não há movimento de cargas em seu interior, ou seja, a rotação ω é o que gera o movimento de elétrons e gera a corrente I da equação m .

Primeiro vamos definir a corrente I do problema.

Se a barra gira a ω e v = ω r , então podemos relacionar v e i como

I = q v

Onde q é uma carga e v a velocidade dessa carga, portanto

I = q ω r

Agora vamos obter a área A que o movimento forma ao mover os elétrons no espaço.

Nesse caso é fácil pois ao rotacionar um barra, a figura que é formada é uma circunferência, ou seja.

A = π r 2

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Substituindo I e A em m , temos

m = π q ω r 3

E se temos uma densidade linear de carga λ , temos que

q = d λ d l → d λ = q d l

Integrando nos dois lados...

∫ d λ = ∫ q d l

λ = q 2 π r

Isolando q ...

q = λ 2 π r

E substituindo em m

m = π λ 2 π r ω r 3

m = λ ω r 2 2

Por último, definimos um raio genérico r para nosso problema, mas na realidade, temos um comprimento definido L / 2 .

Então o que temos na verdade é um momento infinitesimal de um raio infinitesimal da barra, mas integrando r de 0 a L / 2 , temos

d m = λ ω r 2 2 d r → ∫ d m = ∫ 0 L 2 λ ω r 2 2 d r

m = λ ω 2 r 3 3 0 L 2 = λ ω 2 L 2 2 3

Simplificando...

m = λ ω 2 L 3 24

m = λ ω L 3 48

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

m = λ ω L 3 48

Exercícios de Livros Relacionados

Em um modelo pré-mecânica quântica para o átomo de hidrogênio, um elétron orbita em torno de um próton a um raio de 5,29 × 10 - 11m . De acordo com este modelo, qual é a magnitude do campo magnético n
Uma barra metálica de massa m desliza em um par de longos trilhos horizontais condutores, paralelos, separados por uma distância L e conectados a um dispositivo que fornece corrente constante I para o
Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado por B → = 10 i ^ – 20 j ^ + 30 k ^ m T . No instante t 1 , o próton possui uma velocidade dada por v → = v x i ^ +
Uma partícula alfa se move com uma velocidade v → de módulo 550 m / s em uma região onde existe um campo magnético B → de módulo 0,045 T . (Uma partícula alfa possui uma carga de + 3,2 × 10 - 19 C e u
Um elétron possui uma velocidade inicial de 12,0 j ^ + 15,0 k ^ k m / s e uma aceleração constante de 2,00 × 10 12 m / s 2 i ^ em uma região na qual existem um campo elétrico e um campo magnético, amb