6) Considere um fio muito longo, feito de material isolante e uniformemente carregado com densidade λ . Obtenha o fluxo do campo elétrico através de uma superfície Gaussiana esférica de raio R e centrada no ponto O (ver figura), em duas situações: (a) d > R , e (b) d < R .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos um fio infinito carregado com densidade λ e uma superfície gaussiana esférica de raio R que está a uma distância d do fio. Nosso objetivo é obter o fluxo do campo elétrico nessa superfície caso d > R e caso d < R .

Tem alguma ideia de como fazemos isso? 🤔

Para resolver esse problema, vamos aplicar os conceitos da lei de Gauss para o fluxo elétrico.

Pela lei de Gauss, sabemos que o fluxo elétrico é igual a carga envolvida dividida por ϵ 0 .

ϕ E = q e n v ϵ 0

Então nossa tarefa em ambos os casos é obter a quantidade de carga envolvida pela superfície gaussiana dada no problema.

Sacou? Bora começar! 👀

Passo 2

No item a) a distância d do fio até o centro da esfera é maior que o raio da esfera.

Isso quer dizer que o fio não está contido dentro da esfera.

Portanto, a quantidade de carga dentro da esfera é nula, logo, o fluxo elétrico é nulo também

ϕ E d > R = 0 ϵ 0

ϕ E d > R = 0   W b

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos analisar o fluxo sobre a superfície caso d < R , ou seja, a superfície envolve parte do fio...

Agora a carga envolvida q e n v não é nula e o que temos que fazer é encontrar a quantidade de carga envolvida pela superfície.

Como a densidade de cargas é uniforme, sabemos que

λ = d q d l → d q = λ d l

Integrando nos dois lados da equação, vamos obter que a carga envolvida é

∫ d q = ∫ λ d l

Como d l está definido entre - L e L , temos

∫ d q = ∫ - L L λ d l

q e n v = λ · l - L L

q e n v = λ · L - - L

q e n v = 2 λ L

Substituindo na lei de Gauss...

ϕ E = q e n v ϵ 0

ϕ E d < R = 2 λ L ϵ 0

Pela figura, vemos que R 2 = L 2 + d 2 , ou seja

L 2 = R 2 - d 2 → L = R 2 - d 2

Portanto, o fluxo é dado por

ϕ E d < R = 2 λ R 2 - d 2 ϵ 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

ϕ E d > R = 0   W b

ϕ E d < R = 2 λ R 2 - d 2 ϵ 0

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