Uma esfera oca de raio interno a e raio externo b é feita de um material de resistividade ρ . As paredes internas e externa dessa esfera são metalizadas. Supondo que ρ seja muito maior que a resistividade do metal depositado, calcule a resistência elétrica entre as paredes interna e externa.

Passo 1

E aí galerinha do bem, como é que vocês estão?

Nessa questão temos uma casca esférica de raio interno a e raio externo b . Essa casca esférica é feita de um material com resistividade ρ . Sem mais delongas, o enunciado nos pede para calcular a resistência dessa casca esférica.

Esse é um problema clássico pra nossa querida 2 ° Lei de Ohm. Segundo ela, a resistência de um material é dada por:

R = ρ l A

onde ρ é a resistividade do material, l é o comprimento e A a área da secção transversal.

O grande problema aqui é que como temos um resistor esférico, cada vez que mudamos o comprimento l , também mudamos a distância pro centro da esfera oca, e consequentemente mudamos a área da secção transversal.

Assim, pra calcular essa resistência R precisamos considerar pequenos segmentos d l e integrar de 0 até b - a .

Vem comigo que vai ficar bem clarinho 😊

Passo 2

Bom, vamos imaginar que estamos dividindo a nossa casca esférica em várias cascas esféricas beeeeem fininhas com espessura d l e distância até o centro valendo:

d = a + l

Assim, podemos dizer que a resistência d R dessa casquinha vale:

d R = ρ d l 4 π a + l 2

Assim, para obter a resistência total da esfera oca precisamos apenas integrar dos dois lados, com l variando de 0 até b - a , que é a espessura da casca esférica total.

Logo:

R = ∫ 0 b - a ρ 4 π a + l 2 d l

Colocando a constante pra fora:

R = ρ 4 π ⋅ ∫ 0 b - a d l a + l 2

Fazendo a seguinte mudança de variável:

r = a + l

∴ d r = d l

Ajeitando os limites de integração e substituindo na integral, vem que:

R = ρ 4 π ⋅ ∫ a b 1 r 2 d r

= ρ 4 π ⋅ - 1 r a b

Portanto:

R = ρ 4 π ⋅ 1 a - 1 b

⇒ R = ρ b - a 4 π a b

Prontinho pessoal! Essa é a resistência da esfera oca pedida no enunciado!

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

R = ρ b - a 4 π a b

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