Na figura abaixo, uma carga elétrica pontual - q (com q > 0 ), de massa m , desloca-se ao longo do eixo y > 0 com uma velocidade constante de módulo v .

Na origem do sistema de coordenadas (ponto O ), tal partícula penetra numa região retangular de largura L , onde existe um campo magnético uniforme B que é perpendicular ao plano x y .

Considere que o campo magnético é nulo fora da região hachurada indicada na figura. Depois de percorrer uma trajetória circular (curva tracejada na figura), a partícula abandona a região de campo magnético no ponto P , localizado a uma altura h em relação ao eixo x .

a Determine o sentido do campo magnético B (entrando ou saindo do plano x y ). Justifique brevemente sua resposta.

b Determine o módulo da velocidade da partícula no ponto P . Justifique brevemente sua resposta.

c Calcule o raio da trajetória em função de m ,   q ,   B e v .

d Calcule a altura h em função de L ,   m ,   q ,   B e v .

Passo 1

a Determine o sentido do campo magnético B (entrando ou saindo do plano x y ). Justifique brevemente sua resposta.

Em casos de trajetória circular, a força magnética funciona como uma força centrípeta. Nesse caso, ela deve sempre apontar para o centro da trajetória.

A força magnética é dada por:

F → B = - q v → × B →

Dado que a carga elétrica é negativa.

Assim, quando a carga passa pela origem, temos que:

F B i ^ = - q v j ^ × B →

F B i ^ = q v - j ^ × B →

Assim, utilizando a regra da mão direita, concluímos que o campo magnético deve ter o sentido do vetor - k ^ . Ou seja, entrando no plano x y .

Passo 2

b Determine o módulo da velocidade da partícula no ponto P . Justifique brevemente sua resposta.

A força magnética não realiza trabalho, e isso pode ser provado através do raciocínio abaixo:

W F B = ∫ F → B ∙ d s →

Onde d s → = v →   d t , logo, substituindo a expressão da força magnética, teremos:

W F B = ∫ - q v → × B → ∙ v →   d t

O produto vetorial v → × B → nos dará um vetor perpendicular a v → , e como o produto escalar entre vetores perpendiculares é nulo:

W F B = 0

Beleza. No entanto, o trabalho realizado sobre um corpo é igual à variação da energia cinética.

Assim, como o trabalho resultante é nulo, variação de energia cinética é nula. Logo, a variação de velocidade será nula.

Finalmente:

v P = v

Passo 3

c Calcule o raio da trajetória em função de m ,   q ,   B e v .

Como eu disse no Passo 1, a força magnética nesse caso funciona como força centrípeta, logo:

q v B = m v 2 R

Onde R é o raio da trajetória circular.

Arrumando os termos, teremos:

R = m v q B

Passo 4

d Calcule a altura h em função de L ,   m ,   q ,   B e v .

A partir da figura, podemos formar um triângulo retângulo de hipotenusa igual a R . Se liga:

Assim, usando Pitágoras, teremos:

R 2 = L - R 2 + h 2

h = R 2 - L - R 2

h = R 2 - L 2 + 2 L R - R 2

h = - L 2 + 2 L R

h = L 2 R - L

Substituindo a expressão de R que encontramos no Passo 3, teremos:

h = L 2 m v q B - L

Resposta

a O campo magnético tem sentido entrando no plano x y .

b

v P = v

c R = m v q B

d h = L 2 m v q B - L

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