4) A figura ao lado mostra um fio não condutor carregado, em forma de semicírculo. Obtenha o vetor campo elétrico no centro, admitindo: (a) que o fio é uniformemente carregado com densidade λ

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos um fio não condutor carregado e nosso objetivo é obter o vetor campo elétrico no centro do semicírculo gerado pelo fio de densidade de carga λ .

E aí, perece complicado né? 👀

Para obter o campo elétrico de uma distribuição de cargas, temos que aplicar a fórmula diferencial do campo elétrico

d E = k d q r 2

Preparado? Bora começar! 😊

Passo 2

No nosso caso, tanto k , quanto r é constante, ou seja

d E = k R 2 d q

Porém, como a componente do campo elétrico que nos interessa é apenas a componente - y já que o fio possui uma simetria no eixo x .

Assim, a equação d E deve ser adaptada como

d E = k R 2 cos ⁡ θ d q

Mas a quantidade de carga presente em uma linha infinitesimal do fio é dada pelo produto da densidade de cargas com uma variação infinitesimal do comprimento l do fio, ou seja

d q = λ d l

O comprimento l do fio é dado pelo comprimento de arco θ R , ou seja

d q = λ d θ R

d q = λ R d θ

E por último, como a densidade de carga λ = Q l = Q π R , temos

d q = Q π R R d θ

d q = Q π d θ

Tranquilo até aqui? Até agora apenas montamos a equação do campo E 😱

Passo 3

Por fim, substituindo d q na equação de d E , temos

d E = k R 2 cos ⁡ θ d q

d E = k R 2 Q π cos ⁡ θ d θ

Integrando nos dois lados, vamos obter

∫ d E = ∫ k R 2 Q π cos ⁡ θ d θ

Como o fio é contido entre π / 2 e - π / 2 , então temos que aplicar esses valores ao limite de integração

∫ d E = ∫ - π 2 π 2 k R 2 Q π cos ⁡ θ d θ

E = k R 2 Q π ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ = k R 2 Q π s e n θ - π 2 π 2

E = k R 2 Q π 1 - - 1

E = k R 2 Q π 2

E = 1 2 π 2 ϵ 0 Q R 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

E = 1 2 π 2 ϵ 0 Q R 2

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