4) A figura ao lado mostra um fio não condutor carregado, em forma de semicírculo. Obtenha o vetor campo elétrico no centro, admitindo: (b) que a densidade de carga varia segundo λ = λ 0 cos ⁡ θ , onde λ 0 é constante.

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão temos um fio não condutor carregado e nosso objetivo é obter o vetor campo elétrico no centro do semicírculo gerado pelo fio de densidade de carga λ = λ 0 cos ⁡ θ .

E aí, perece complicado né? 👀

Para obter o campo elétrico de uma distribuição de cargas, temos que aplicar a fórmula diferencial do campo elétrico

d E = k d q r 2

Preparado? Bora começar! 😊

Passo 2

No nosso caso, tanto k , quanto r é constante, ou seja

d E = k R 2 d q

Porém, como a componente do campo elétrico que nos interessa é apenas a componente - y já que o fio possui uma simetria no eixo x .

Assim, a equação d E deve ser adaptada como

d E = k R 2 cos ⁡ θ d q

Mas a quantidade de carga presente em uma linha infinitesimal do fio é dada pelo produto da densidade de cargas com uma variação infinitesimal do comprimento l do fio, ou seja

d q = λ d l

O comprimento l do fio é dado pelo comprimento de arco θ R , ou seja

d q = λ d θ R

d q = λ R d θ

E por último, como a densidade de carga λ = λ 0 cos ⁡ θ , temos

d q = λ 0 cos ⁡ θ R d θ

Tranquilo até aqui? Até agora apenas montamos a equação do campo E 😱

Passo 3

Por fim, substituindo d q na equação de d E , temos

d E = k R 2 cos ⁡ θ d q

d E = k R 2 cos ⁡ θ λ 0 cos ⁡ θ R d θ

d E = k R 2 λ 0 cos 2 ⁡ θ R d θ

Integrando nos dois lados, vamos obter

∫ d E = ∫ k R λ 0 cos 2 ⁡ θ d θ

Como o fio é contido entre π / 2 e - π / 2 , então temos que aplicar esses valores ao limite de integração

∫ d E = ∫ - π 2 π 2 k R λ 0 cos 2 ⁡ θ d θ

E = k R λ 0 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = k R λ 0 1 2 ( θ + 1 2 s e n 2 θ - π 2 π 2

Simplificando...

E = k R λ 0 1 2 π 2 + 1 2 s e n 2 π 2 - 1 2 - π 2 + 1 2 s e n 2 - π 2

E = k R λ 0 π 4 + 0 + π 4 + 0

E = k R λ 0 π 2

Como k = 1 4 π ϵ 0 ...

E = 1 4 π ϵ 0 λ 0 R π 2 = 1 8 ϵ 0 λ 0 R

Estamos quase acabando! 😁

Passo 4

Temos que escrever o resultado em função de Q , então se λ = d Q d l

λ 0 cos ⁡ θ = d Q d l

λ 0 cos ⁡ θ d l = d Q

Como já vimos que d l = R d θ , então

λ 0 cos ⁡ θ R d θ = d Q

Integrando nos dois lados...

∫ λ 0 cos ⁡ θ R d θ = ∫ d Q

Aplicando os mesmos limites de integração...

∫ - π 2 π 2 λ 0 cos ⁡ θ R d θ = ∫ d Q

λ 0 R s e n θ - π 2 π 2 = Q

λ 0 R 1 - - 1 = Q

λ 0 2 R = Q

Portanto...

λ 0 = Q 2 R

Substituindo em E , finalmente vamos obter

E = 1 8 ϵ 0 λ 0 R

E = 1 8 ϵ 0 Q 2 R R

E = 1 16 ϵ 0 Q R 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

E = 1 16 ϵ 0 Q R 2

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