8) Um fio isolante muito longo (cor laranja) é colocado sobre o eixo de um cilindro metálico oco (cor azul), também muito longo. A densidade linear de carga do fio é λ , enquanto a densidade de carga por unidade de comprimento do cilindro é 2 λ . (c) Calcule também o campo elétrico nas regiões r < a , e a < r < b .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão temos um fio infinito de densidade de carga λ por unidade de comprimento e envolta do fio há um cilindro oco também infinito com raio interno a e raio externo b e densidade de carga 2 λ por unidade de comprimento.

Com essa situação, queremos obter o campo elétrico em um ponto onde r < a e onde a < r < b

E aí, parece complicado? 🤔

Para resolver esse problema, vamos aplicar a lei de Gauss que diz que a integral fechada de E em uma superfície é igual a quantidade de carga q dividido por ϵ 0 , ou seja

∮ E d S = q e n v ϵ 0

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Como o campo E é uniforme, podemos tirá-lo da integral

E ∮ d S = q e n v ϵ 0

Assim, ∮ d S é a área da nossa superfície gaussiana, ou seja, um cilindro de raio r que envolve o sistema fio-cilindro.

A área desse cilindro gaussiano nada mais é que 2 π r L , onde L é uma unidade de comprimento

E 2 π r L = q e n v ϵ 0

E = q e n v 2 π r L ϵ 0

Agora, a carga envolvida q e n v é dada por

λ e n v = d q d l → d q = λ e n v d l

Integrando nos dois lados entre 0 e L , temos

∫ 0 L d q = ∫ 0 L λ e n v d l

q e n v = λ e n v L

Primeiro vamos analisar o problema quando r < a .

Quando r < a , a única densidade de cargas envolvida é a superfície do fio que possui densidade λ , ou seja

λ e n v r < a = λ

Portanto, a carga envolvida é

q e n v r < a = λ L

Substituindo em E

E r < a = λ L 2 π r L ϵ 0

E → r < a = λ 2 π r ϵ 0 r ^

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Agora vamos analisar o caso de quando a < r < b

Nesse caso, temos que as superfícies de cargas envolvidas é a superfície do fio que tem densidade λ e a superfície interna do cilindro, que tem densidade - λ , ou seja

λ e n v a < r < b = λ - λ = 0

Substituindo no campo elétrico E

E a < r < b = 0 L 2 π r L ϵ 0

E → a < r < b = 0

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

E → r < a = λ 2 π r ϵ 0 r ^

E → a < r < b = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Em um modelo pré-mecânica quântica para o átomo de hidrogênio, um elétron orbita em torno de um próton a um raio de 5,29 × 10 - 11m . De acordo com este modelo, qual é a magnitude do campo magnético n
Uma barra metálica de massa m desliza em um par de longos trilhos horizontais condutores, paralelos, separados por uma distância L e conectados a um dispositivo que fornece corrente constante I para o
Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado por B → = 10 i ^ – 20 j ^ + 30 k ^ m T . No instante t 1 , o próton possui uma velocidade dada por v → = v x i ^ +
Uma partícula alfa se move com uma velocidade v → de módulo 550 m / s em uma região onde existe um campo magnético B → de módulo 0,045 T . (Uma partícula alfa possui uma carga de + 3,2 × 10 - 19 C e u
Um elétron possui uma velocidade inicial de 12,0 j ^ + 15,0 k ^ k m / s e uma aceleração constante de 2,00 × 10 12 m / s 2 i ^ em uma região na qual existem um campo elétrico e um campo magnético, amb